1、1.平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12y2y12.3.平面向量共线的
2、坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)(a0)，如果 ab，那么 x1y2x2y10；反过来，如果 x1y2x2y10，那么 ab.【知识拓展】1.若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.2.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果 x20，y20，则 abx1x2y1y2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y
3、2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()1.(教材改编)如果 e1，e2 是平面 内所有向量的一组基底，是实数，则下列说法中正确的有_.(填序号)若，满足 e1e20，则 0；对于平面 内任意一个向量 a，使得 ae1e2 成立的实数，有无数对；线性组合 e1e2 可以表示平面 内的所有向量；当，取不同的值时，向量 e1e2 可能表示同一向量.答案 解析 正确.若 0，则 e1e2，从而向量 e1，e2 共线，这与 e1，e2 不共线相矛盾，同理可说明 0.不正确.由平面向量基本定理可知，唯一确定.正确.平面 内
4、的任一向量 a 可表示成 e1e2 的形式，反之也成立；不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当 e1 和 e2 确定后，其和向量 e1e2 唯一确定.2.(教材改编)给出下面几种说法：相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；一个坐标对应于唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是_.答案 3解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误.3.(2015课标全国)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，则向量BC_.答案(7，4)解析 AB(3，1)，AC(4，3)，BCACAB(4，3
5、)(3，1)(7，4).4.已知向量 a(2，3)，b(1，2)，若 manb 与 a2b 共线，则mn_.答案 12解析 由已知条件可得 manb(2m，3m)(n，2n)(2mn，3m2n)，a2b(2，3)(2，4)(4，1).manb 与 a2b 共线，2mn43m2n1，即 n2m12m8n，mn12.5.(教材改编)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为_.答案(1，5)解析 设 D(x，y)，则由ABDC，得(4，1)(5x，6y)，即45x，16y，解得x1，y5.题型一 平面向量基本定理的应用例 1(1)在平行四边形 ABCD 中
6、，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若ACa，BD b，则AF_.(2)(2016苏锡常镇调研)如图，在ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，BG 2GO，设CD AG，若AD 15ABAC(R)，则 的值为_.答案(1)23a13b(2)65解析 ACa，BD b，AD AO OD12AC12BD 12a12b.E 是 OD 的中点，DEEB13，DF13AB.DF 13AB13(OB OA)1312BD(12AC)16AC16BD 16a16b，AFAD DF 12a12b16a16b23a13b.(2)因为BG 2GO，所以AG
7、2312(ABAC)13AB13AC.因为CD AG，所以设CD mAG，从而AD ACCD ACm3ABm3AC(1m3)ACm3AB.因为AD 15ABAC，所以m315，1m365.思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.如图，在ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB 211AC，则实数 m 的值为_.答案 311解析 设BPkBN，kR.
8、因为APABBPABkBNABk(ANAB)ABk(14ACAB)(1k)ABk4AC，且APmAB 211AC，所以 1km，k4 211，解得 k 811，m 311.题型二 平面向量的坐标运算例 2(1)已知 a(5，2)，b(4，3)，若 a2b3c0，则 c_.(2)(2016盐城模拟)已知向量 a(1，2)，b(m，4)，且 ab，则 2ab_.答案(1)133，43 (2)(4，8)解析(1)由已知 3ca2b(5，2)(8，6)(13，4).所以 c133，43.(2)因为向量 a(1，2)，b(m，4)，且 ab，所以 142m0，即 m2，所以 2ab2(1，2)(2，4)
9、(4，8).思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(1)(2016江苏宿迁三校模拟)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.(2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC2AD，则顶点 D的坐标为_.答案(1)4(2)(2，72)解析(1)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，aAO(1，1)，bOB
10、(6，2)，cBC(1，3).cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即61，23，解得 2，12，4.(2)设 D(x，y)，AD(x，y2)，BC(4，3)，又BC2AD，42x，32y2，x2，y72.题型三 向量共线的坐标表示命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标例 3 已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_.答案(3，3)解析 方法一 由 O，P，B 三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44，4).又ACOC OA(2，6)，由AP与AC共线，得(44)64(2)0，解得 34，所以OP 34OB(3，3)，所
11、以点 P 的坐标为(3，3).方法二 设点 P(x，y)，则OP(x，y)，因为OB(4，4)，且OP 与OB 共线，所以x4y4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2，6)，且AP与AC共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为(3，3).命题点 2 利用向量共线求参数例 4(2016常州模拟)已知向量 a(1sin，1)，b(12，1sin)，若 ab，则锐角 _.答案 45解析 由 ab，得(1sin)(1sin)12，所以 cos212，cos 22 或 cos 22，又 为锐角，45.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共
12、线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量.(1)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为_.(2)设OA(2，4)，OB(a，2)，OC(b，0)，a0，b0，O 为坐标原点，若 A，B，C三点共线，则1a1b的最小值为_
13、.答案(1)(2，4)(2)32 22解析(1)在梯形 ABCD 中，ABCD，DC2AB，DC 2AB.设点 D 的坐标为(x，y)，则DC(4，2)(x，y)(4x，2y)，AB(2，1)(1，2)(1，1)，(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2，4).(2)由已知得AB(a2，2)，AC(b2，4)，又ABAC，所以(a2，2)(b2，4)，即a2b2，24，整理得 2ab2，所以1a1b12(2ab)(1a1b)12(32ab ba)12(322ab ba)3 2 22(当且仅当 b 2a 时，等号成立).11.
14、解析法(坐标法)在向量中的应用典例(14 分)给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为23.如图所示，点 C 在以O 为圆心的 AB 上运动.若OC xOA yOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值.思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征.规范解答解 以 O 为坐标原点，OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1，0)，B(12，32).4 分设AOC(0，23)，则 C(cos，sin)，由OC xOA yOB，得cos x12y，sin 32 y，所以 xcos 33 sin，y2 33 si
15、n，8 分所以 xycos 3sin 2sin(6)，11 分又 0，23，所以当 3时，xy 取得最大值 2.14 分1.(2016江苏苏州暑期测试)设 x，yR，向量 a(x，1)，b(2，y)，且 a2b(5，3)，则xy_.答案 1解析 由题意得 a2b(x4，12y)(5，3)，所以x45，12y3，解得x1，y2，所以 xy1.2.已知点 A(1，5)和向量 a(2，3)，若AB3a，则点 B 的坐标为_.答案(5，14)解析 设点 B 的坐标为(x，y)，则AB(x1，y5).由AB3a，得x16，y59，解得x5，y14.3.(2016江苏南京开学测试)已知向量 a(1，2)，
16、b(m，4)，且 a(2ab)，则实数 m 的值为_.答案 2解析 方法一 由题意得 a(1，2)，2ab(2m，8)，因为 a(2ab)，所以 18(2m)20，故 m2.方法二 因为 a(2ab)，所以存在实数，使得 a2ab，即(2)ab，所以(2，24)(m，4)，所以 2m 且 244，得 4，m2.方法三 因为 a(2ab)，所以 ab，所以 42m，即 m2.4.已知 a(1，1)，b(1，1)，c(1，2)，则 c_.(用 a，b 表示)答案 12a32b解析 设 cab，(1，2)(1，1)(1，1)，1，2，12，32，c12a32b.5.已知 A(7，1)，B(1，4)，
17、直线 y12ax 与线段 AB 交于点 C，且AC2CB，则实数 a_.答案 2解析 设 C(x，y)，则AC(x7，y1)，CB(1x，4y)，AC2CB，x721x，y124y，解得x3，y3.C(3，3).又C 在直线 y12ax 上，312a3，a2.6.已知|OA|1，|OB|3，OA OB 0，点 C 在AOB 内，且OC 与OA 的夹角为 30，设OC mOA nOB(m，nR)，则mn的值为_.答案 3解析 OA OB 0，OA OB，以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴建立直角坐标系(图略)，OA(1，0)，OB(0，3)，OC mOA nOB(m，3n).tan 30 3
18、nm 33，m3n，即mn3.7.在ABCD 中，AC 为一条对角线，AB(2，4)，AC(1，3)，则向量BD 的坐标为_.答案(3，5)解析 ABBCAC，BCACAB(1，1)，BD AD ABBCAB(3，5).8.设 02，向量 a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若 ab，则 tan _.答案 12解析 ab，sin 21cos20，2sin cos cos20，02，cos 0，2sin cos，tan 12.9.在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是 CD 和 BC 的中点.若ACAEAF，其中，R，则 _.答案 43解析 选择AB，AD 作为平面向量的一组基底
19、，则ACABAD，AE12ABAD，AFAB12AD，又ACAEAF(12)AB(12)AD，于是得121，121，解得23，23，所以 43.*10.如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若OC mOA nOB，则 mn 的取值范围是_.答案(1，0)解析 由题意得，OC kOD(k0)，又|k|OC|OD|1，1k0.又B，A，D 三点共线，OD OA(1)OB，mOA nOB kOA k(1)OB，mk，nk(1)，mnk，从而 mn(1，0).11.(2016四川改编)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面 AB
20、C 内的动点 P，M 满足|AP|1，PM MC，则|BM|2 的最大值是_.答案 494解析 建系如图，则易知 B(3，0)，C(3，0)，A(0，3).设 M(x，y)，P(a，b)，PM MC，xa 3x，yb0ya2x 3，b2y，即 P(2x 3，2y)，又|AP|1.P 点在圆x2(y3)21 上，即(2x 3)2(2y3)21，整理得，x 322y32214(记为圆)，即 M 点在该圆上，求|BM|的最大值转化为 B 点到该圆上的一点的最大距离，即 B 到圆心的距离再加上该圆的半径：|BM|232 3 2 322122494.12.(2016扬州中学质检)在矩形 ABCD 中，A
21、B 5，BC 3，P 为矩形内一点，且 AP 52，APABAD(，R)，则 5 3 的最大值为_.答案 102解析 以矩形相邻两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则 A(0，0)，B(5，0)，D(0，3)，设PAB，则 P(52 cos，52 sin)，因为APABAD，所以(52 cos，52 sin)(5，0)(0，3)，所以 12cos，156 sin，故 5 3 52 cos 52 sin 102 sin(4)，由已知得 02，所以4434，所以 22 sin(4)1，所以 5 3 的最大值为 102.13.(2016江苏南京二十九中月考)设 G 为ABC 的重心，若ABC
22、所在平面内一点 P 满足PA2BP2CP0，则|AP|AG|的值为_.答案 2解析 令三角形为等腰直角三角形(如图)，则根据重心坐标公式得重心 G 的坐标为(1，1)，根据PA2BP2CP0，可设 P(x，y)，则有 2(x3，y)2(x，y3)(4x6，4y6)(x，y)，所以 x2，y2，所以 P(2，2)，所以|AP|AG|2.14.已知 A(1，1)，B(3，1)，C(a，b).(1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系式；(2)若AC2AB，求点 C 的坐标.解(1)由已知得AB(2，2)，AC(a1，b1)，A，B，C 三点共线，ABAC.2(b1)2(a1)0，即 ab2.(2)AC2AB，(a1，b1)2(2，2).a14，b14，解得a5，b3.点 C 的坐标为(5，3).
