1、离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布Xx1x2xixnPp1p2pipn1均值(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 则称 E(X)为随机变量X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的(2)若 YaXb，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且E(aXb).(3)若 X 服从两点分布，则 E(X)；若 XB(n，p)，则 E(X).x1
2、p1x2p2xipixnpn平均水平aE(X)bpnp离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 Xx1x2xixnPp1p2pipn则描述了 xi(i1,2，n)相对于均值 E(X)的偏离程度而 D(X)_为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的称D(X)为随机变量 X 的方差，并称其_为随机变量 X 的标准差(xiE(X)2平均偏离程度i=1n(xiE(X)2pi算术平方根 DX2方差(1)设离散型随机变量 X 的分布列为离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实
3、课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)D(aXb)(3)若 X 服从两点分布，则 D(X)(4)若 XB(n，p)，则 D(X)a2D(X)p(1p)np(1p)离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 上方xx1 21“瘦高”“矮胖”分散3正态分布离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)正态分布的三个常用数据P(X)；P(2X2)；P(3X3).0.682 60.954 40.997 4离散型随机变量的均值与方差、正态分布
4、 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 小题体验解析：XB3，14，D(X)31434 916.1有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 D(X)_.答案：916离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2设随机变量 XN(3，2)，若 P(Xm)0.3，则 P(X6m)_.解析：因为 P(Xm)0.3，所以 P(X6m)1P(X1)p，则 P(1X0)P(X1)P(X1)p，所以 P(1X0)P(X0)P(X1
5、)12p.答案：D 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2已知随机变量 X 服从正态分布 N(3，2)，且 P(X5)0.8，则 P(1X3)()A0.6 B0.4C0.3 D0.2解析：由正态曲线的对称性可知，P(X3)0.5，故 P(X1)P(X1)0.2，P(1X3)P(X0，试卷满分 150 分)，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于 110 分的学生约有_人解析：成绩服从正态分布 XN(90，a2)，其正态分布曲线关于直线 x90
6、对称，又成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在 110 分以上的人数约为总人数的1213515，此次数学考试成绩不低于 110 分的学生约有15600120(人)答案：120离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 谨记通法求解正态总体在某个区间内取值的概率的 2 个关键点(1)熟记 P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.正态曲线关于直线 x 对称，从而在关于 x 对称的区间上概率相等P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)
7、P(Xa)离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 典例引领(2016全国卷乙)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：考点二 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三
8、 维 演 练 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与n20 之中选其一，应选用哪个？离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0
9、.2，0.4，0.2,0.2.从而 P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以 X 的分布列为：X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：(2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X1
10、9)0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当 n19 时，当 n20 时，E(Y)202000.88 (20200 500)0.08 (20200 2500)0.044 080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于当 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与n20 之中选其一，应选用哪个？离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟
11、法求离散型随机变量的均值的 4 个步骤(1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值；(2)求 X 的每个值的概率；(3)写出 X 的分布列；(4)由均值定义求出 E(X)离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2017湖南衡阳一中月考)网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍 4 人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为 1 或 2 的人去淘宝网购物，掷出点数大于 2 的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城中选择一家购物(1)求这 4
12、个人中恰有 2 人去淘宝网购物的概率；(2)求这 4 个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率；(3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去淘宝网购物的人数和去京东商城购物的人数，记|XY|，求随机变量 的分布列与数学期望 E()离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：(1)每个人去淘宝网购物的概率都为13，去京东商城购物的概率都为 11323，这 4 个人中恰有 2 人去淘宝网购物的概率为 C241321132 827.(2)用 X 表示这 4 人中去淘宝网购的人数，由题意可知 XB4，13，则 P
13、(Xk)Ck413k1134k(k0,1,2,3,4)，这 4 个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为 P(X3)P(X4)C34133113 C4413419.离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：由题意，可知 可取 0,2,4，P(0)P(X2)827，P(2)P(X1)P(X3)4081，P(4)P(X0)P(X4)1781.故随机变量 的分布列为:024P 82740811781E()0 827240814178114881.(3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去淘宝网购物的人数和
14、去京东商城购物的人数，记|XY|，求随机变量 的分布列与数学期望 E()离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 离散型随机变量的均值与方差的应用典例引领某校设计了一个实验考察方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成，考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；(2)请分析比较甲、
15、乙两考生的实验操作能力离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 X，Y，则 X 的取值分别为 1,2,3；Y 的取值分别为 0,1,2,3.P(X1)C14C22C36 15，P(X2)C24C12C36 35，P(X3)C34C02C36 15，考生甲正确完成题数的概率分布列为X123P153515离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 E(X)1152353152.P(Y0)C03123
16、3 127，同理：P(Y1)29，P(Y2)49，P(Y3)827.考生乙正确完成题数的概率分布列为Y 01 23P 1272949827E(Y)0 1271292493 8272.离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)D(X)(21)215(22)235(23)21525，D(Y)(20)2 127(21)229(22)249(23)2 82723或DYnpq3231323，D(X)P(Y2)从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成 2 题的概率考察，甲获得通过的可能
17、性大因此可以判断甲的实验操作能力较强离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法利用均值、方差进行决策的 2 个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2017海口调研)汽车租赁公司为了调查 A，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各
18、100 辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A 型车出租天数1234567车辆数51030351532B 型车出租天数1234567车辆数1420201615105离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(1)从出租天数为 3 的汽车(仅限 A，B 两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 的概率；(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从 A，B 两种车型
19、中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：(1)估计这辆汽车是 A 型车的概率 P3030200.60.(2)设“事件 Ai 表示一辆 A 型车在一周内出租天数恰好为 i”，“事件 Bj表示一辆 B 型车在一周内出租天数恰好为 j”，其中 i，j1,2,3，7，则该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 的概率为 P(A1B3A2B2A3B1)P(A1B3)P(A2B2)P(A3B1)P(A1)P(B3)P(A2)P(
20、B2)P(A3)P(B1)5100 20100 10100 20100 30100 14100 9125，故该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为4 的概率为 9125.离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：设 X 为 A 型车出租的天数，则 X 的分布列为X1234567P0.050.10 0.30 0.35 0.15 0.030.02设 Y 为 B 型车出租的天数，则 Y 的分布列为X1234567P0.140.200.200.16 0.150.100.05(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从 A，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由离散型随机变量的均值与方差、正态分布 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 则 E(X)10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.023.62，E(Y)10.14 20.20 30.20 40.16 50.15 60.1070.053.48.一辆 A 型车一个星期出租天数的平均值为 3.62，B 型车一个星期出租天数的平均值为 3.48，选择 A 型车更加合理板块命题点专练（十五）点击此处
