1、将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化 数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.除较简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化化为已知的问题实现的从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化的思想是解决数学问题的根
2、本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程1转化的分类 转化可分为等价转化与非等价转化等价转化要求转化过程中前因后果是充要的，它保证了转化后的结果仍为原问题的结果非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正(如无理方程化为有理方程，则需要验根)，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确 2应用化归与转化思想解题的原则 化难为易、化生为熟、化繁为简，并尽量采用等价转化 3常见的化归与转化的方法 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的相互转化、
3、复数与实数的相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化 4运用化归与转化的思想解题需要明确的问题 明确化归对象，即对什么问题转化；认清化归目标，即化归到何处去；把握化归方法，即如何进行化归 5运用化归与转化的思想解题的途径 借助函数进行转化；借助方程(组)进行转化；借助辅助命题进行转化；借助特殊的数与式的结构进行转化；借助几何特征进行转化 1利用化归的多样性，促进知识的链接 “一题多解”实际上是通过不同的化归途径与转化思想实现同一目标的过程而不同的化归途径要求对对象的数学本质有较深刻的理解，“化”才能多姿多彩 532(0,0),1.xyxyxy已知则 的最小值是例分析：本题题型常见，解法灵活多
4、变，不同的解法体现出答题者的不同的思维层次，可真正展示答题者的创新能力充分联想已知的知识，联想求不等式最值的基本方法，多角度全方位地思考问题，转化化归问题，并最终求得问题的答案 535 3152,.53(,5,311532()2211(53)2 15,22151553)xyxyxyxyxyxyxyxyxy xyyxxyxyxyxy15：2=故 的最小值为当且仅当即时取最小值）：故,则 的最小值为解析：方法一（当且仅当是法二,取最小值方2222253532cos,2sin,1515,4cossinsin 2xyxyxy：由于与的值在区间（0,2）内，故可令则以下略法三。方225232,15()1
5、5(2)15,44mnxmn ymnmnmnxymnmn方法四：同上可令则以下略。222253552,.2323,5230.26005.23,23352353 22t0y.152yyxxyxyyyxyyyyxyytytttxytt ：由得于是令S=则SS由（S）S，得（S0，不合，舍方法五方法去），以下略。：同方法五有：令则则 ，且于是，六以下略5353152(-)(-).4553315115-1(1)22224411(2)(22)151571(1)415122154：由，得令，则，以下略：同方法 有，于是，以下略方法七方法八xyxyxyxtyxytttttttxytxytt点评：我们在这里不
6、是追求问题的多解，只是希望通过这些不同的解答，反映化归的途径与思考的出发点如果我们有意识地经常性地进行这样一种多解性的训练，那么我们的解题水平将会有一个显著的提高 tan804cos10.求值：分析：分析所求值的式子，一般应用两条途径：一是将函数名化为相同；二是将非特殊角化为特殊角例2cos104cos10sin10sin802sin 20sin(6020)2sin 20sin10sin1031cos 20sin 202sin 2022sin10133(cos 20sin 20)3 cos(6020)223sin10sin101 解析：法式方：原方法2：如图，RtABC中，直角边AB=1，斜边
7、AC=2，D=10，则BD=tan80.在ACD中，由正弦定理得=，所以CD=4cos10.所以tan80-4cos10=BD-CD=BC=.sin10sin 20ACCD2sin 20sin103点评：无条件三角求值问题，其变换过程是等价转化思想的体现一般地，对于三角恒等变换，常用的手段是：切化弦、拆角、降次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角，等等2利用化归的等价性，凸现问题的本质转化有等价转化和非等价转化等价转化体现了充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情形下，进行不等价转化，亦应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证222222412log2
8、log11log04 aaxxaaaa设对所有实数x，不等式恒成立，求实数a的例3：取值范围2222222241loglog2,121log1log211422 1210.()2202 14 221011.01201.：令，则，于是，原不等式等价于经换元后，变简单了，思路变清晰了，这是一种转化，这是一种化归显然，于是，且，解得 所以 ，解得 方法aattaaaattaat xt xtttDtttataa 一0,1故实数 的取值范围是a222222222221322 log0.21322110log222331.0,log01 211 2121101.2 axxxaaxxxxaxxxxaxxxa
9、aaaR：将原不等式化为因为，所以因为，所以，所以，解得 方法二点评：1.上述方法2属于变更主元法，把x 看作常量，选取a为主元，简化了求解过程，这是常量与变量转化的常用方法 2请分析下面的解答：因不等式恒成立，故当x=0时也成立，于是 log2 02214 aa221)21014101.(aaaaa 该解法正确吗？为什么？（附：该解法实乃歪打正着，偶然巧合，逻辑错误十分明显）例6：对任意正实数x、y，我们发现下列不等式恒成立：2223221.33233；xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy5555问：是否存在实数，使得不等式对任意正实数、恒成立？证明你的结论axyxyaxyxyx
10、yxyxy2 13 2112.224,.216313aa 化归：这些恒成立的不等式中的常数、等是怎样得到的？注意到每个不等式的两边均是两项，于是先把转化为这样第一个不等式中的数的分母为3，第二个不等式中的数的分母为4，而且213314 类比这个经验可得：516，于是猜测要我们解决的那个不等式中的数应为 即，而且我们同时猜测该分析：不等式对，恒成立！转化：现在的问题变成为解决：求证下列两不等式对任意正实数x、y恒成立：1553.555；xyxyxyxyyxyxyxy22221553101526530.0 xyxyxyxxyyxxyyxyxyxyxxyyxxyy222222；34证22156明：2
11、5上面最后一个式子显然成立，故不等式得证222215535251352650000.xyxyxyxxyyxxyyxxyyxxyyxyxyxy22222223 5255265112上面最后一个式子显然成立，故不等式得证4利用化归的特殊性，激发思维的创新对某些数学问题，要根据该问题的背景、结构特点，通过观察、联想，恰当地构造出某个数学模型，将要求证的问题转化为研究该数学模型的特征，常常能获得新颖、快捷的解法或证法数形结合、换元法、构造法等都是一种创造性的思维方法，是特殊的化归例7：对于一切大于1的自然数n，证明：111121()()()()3572121111nn分析：挖掘问题中隐含的对称性，运用
12、对称思想解题，往往能得到出人意料的结果 证明：欲证明原不等式成立，即证2462211352124621352135721.2462021nnnnAnnBnABAABnAn2设，构造对偶式因为 ，所以21，即，原不等式成立 *21122(-1)1111()23-111log-1-log:208 nnnmmSnNnf nSSmnNnf nmm 设，试确定实数 的取值范围，使对于，不等式例恒成立分析：Sn不易求和，不等式难以处理若用函数思想沟通，化归为研究f(n)的单调性，再构建不等式，则也许容易解决 ()1112321111.3423111222321111)()0.22242324(9()209112020mmf nnnnf nnnnf nf nnnnnnnnf nf nffnnffmmN221设，则1故1所以132，2 而2，由单调性，知2log析：lo解g1051251|2 mmmmmmmm mm得1log11，且log1，解得，且2所以 的取值范围是，且2 点评：熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现问题之间的本质联系“抓基础，重转化”是学好数学的金钥匙
