1、三 反证法与放缩法考 纲 定 位重 难 突 破1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.重点：1.理解反证法在证明不等式中的应用2.掌握反证法证明不等式的方法难点：掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、反证法先，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)的结论，以说明不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法二、放缩法证明不等
2、式时，通常把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的我们把这种方法称为放缩法假设要证的命题不成立矛盾假设放大缩小双基自测1否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为()Aa，b，c 都是奇数Ba，b，c 都是偶数Ca，b，c 中至少有两个偶数Da，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：恰有一个的否定是至少有两个或都是，故选 D.答案：D2用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC 中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反
3、证法的证明过程知正确顺序为.答案：3A1 12 13 1n与 n(nN)的大小关系是_解析：A 11 12 13 1n nn n.答案：11 12 13 1n n探究一 反证法的应用 例 1 已知 f(x)x2pxq，求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12.则|f(1)|2|f(2)|f(3)|0，y0，且 xy2，求证：1yx 与1xy 中至少有一个小于 2.证明：假设1yx 2 且1
4、xy 2.x0，y0，1y2x，1x2y，得 2(xy)2(xy)，即 xy2 与 xy2 矛盾假设不成立，故1yx 与1xy 中至少有一个小于 2.探究二 利用放缩法证明不等式 例 2 设 Sn 12 23 nn1，求证：不等式nn12Sn 12 22 n212nnn12.且 Sn122 232 nn1232522n121232522n12n122nn12Sn2k k12(k1 k)，1k2k k1)；(2)1k21kk11k 1k1(程度大)；(3)1k21k211k1k1121k1 1k1(程度小)2对于任意 nN，求证：1 122 132 142 1n274.证明：1n2 1nn1nn
5、1 1n11n(n2)，1 122 132 142 1n21 122 132 1431nn111412131314 1n11n54121n741n0)(1)求 f(x)的单调区间；(2)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(iN*)个零点，证明：对一切 nN*，有 1x21 1x22 1x2n0，此时 f(x)0；当 x(2k1)，(2k2)(kN)时，sin x0.故 f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN).4 分(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减又 f2 0，故 x12.当 nN*时，因为 f(n)f(n1
6、)(1)nn1(1)n1(n1)10，且函数f(x)的图象是连续不断的，所以 f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一个零点又f(x)在区间(n，(n1)上是单调的，故 nxn1(n1).1xn1 1n，1x2n1 12 1n2.8 分因此，当 n1 时，1x21 4223；当 n2 时，1x21 1x22 12(41)23；当 n3 时，1x21 1x22 1x2n 1241 1221n12 125 1121n2n1 125112 1213 1n2 1n1 126 1n1 6223.12 分综上所述，对一切 nN*，1x21 1x22 1x2n23.13 分规律探究 本题为高考压轴题，综合性
7、强，考查了导数应用、函数零点、三角函数、数列和不等式证明等知识，难度较大，是为冲刺数学高分的同学准备的，解答本题的关键有两点，一是通过单调性获取零点所在区间得到 nxn1b，那么3 a3 b”时，假设的内容是()A.3 a3 b B3 a3 bC.3 a3 b，且3 a3 bD3 a3 b或3 a3 b的否定是3 a3 b.答案：D2已知 a2，则 loga(a1)loga(a1)_1(填“”、“2，loga(a1)0，loga(a1)0，又 loga(a1)loga(a1)，logaa1logaa1logaa1logaa12，而logaa1logaa1212loga(a21)12logaa21，loga(a1)loga(a1)1.答案：课时作业