1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652B.214C.53D.532解析OP=12(OA+OB)=12(4,3,6)=2,32,3,OC=(0,1,0),PC=OC-OP=-2,-12,-3,|PC|=4+14+9=532.答案D2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为()A.13B.33C.53D.63解析建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1
2、,1,1),E0,12,1,所以EC=1,12,-1,CC1=(0,0,1),所以点C1到直线EC的距离d=|CC1|2-|CC1EC|EC|2=1-49=53.故选C.答案C3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.6a6B.3a6C.3a4D.6a3解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1(a,0,a),DM=a,0,a2,DB=(a,a,0),DA1=(a,0,a).设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则nDM=0,nDB=0,即ax+a2z=0,ax+ay=0,令x
3、=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).点A1到平面MBD的距离d=|DA1n|n|=|a-2a|6=66a.答案A4.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为.解析如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),点P到直线BD的距离d=|PB|2-PBBD|BD|2=10-952=135.答案1355.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,在ABC中,ACB=
4、90,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为.解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3),A1B=(-1,1,-3),A1C=(-1,0,-3),A1B1=(-1,1,0).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则nA1B=0,nA1C=0,即-x+y-3z=0,-x-3z=0.令z=1得x=-3,y=0,n=(-3,0,1).点B1到平面A1BC的距离d=|nA1B1|n|=32.答案326.已知正方形ABCD的边长为1,PD平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC
5、的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,12,0,F12,1,0,所以EF=-12,12,0,PE=1,12,-1,DE=1,12,0,设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则nEF=0,nPE=0,即-12x+12y=0,x+12y-z=0.令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离d=|DEn|n|=|2+1|4+4+9=31717,因此点D到平面PEF的距
6、离为31717.(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EFAC.又因为AC平面PEF,EF平面PEF,所以AC平面PEF.因为AE=0,12,0,所以点A到平面PEF的距离d=|AEn|n|=117=1717.所以直线AC到平面PEF的距离为1717.关键能力提升练7.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为()A.1010B.21111C.35D.1解析以C为坐标原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CG所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B
7、(0,4,0),BE=(2,0,0),FE=(-2,2,0),EG=(-2,-4,2).设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),则mFE=0,mEG=0,即-2x+2y=0,-2x-4y+2z=0.令x=1,则y=1,z=3,则m=(1,1,3),点B到平面EFG的距离d=|BEm|m|=21111.答案B8.在空间直角坐标系中,定义:平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,DR,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面的距离d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d等于()
8、A.55B.255C.2D.5解析以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-12D,所以方程可化为-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以d=|20+0-2|22+12=255.答案B9.(2020山东威海高二期中)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离()A.等于55
9、aB.和EF的长度有关C.等于23aD.和点Q的位置有关解析取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PGCD,点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,故B错误.又A1B1平面PGCD,点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,故D错误.如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),Pa2,0,a,DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),DP=a2,0,a.设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由nDP=0,nDC=0,得a2x+az=0,
10、ay=0,令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,则d=|DA1n|n|=|-2a+a|5=5a5,故A正确,C错误.故选A.答案A10.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是A1B1的中点,P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA1,则下列说法正确的是()A.点A到直线BE的距离是55B.点A到直线BE的距离是255C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33D.点P到直线AB的距离为2536解析如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A
11、1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-1,0,0),BE=-12,0,1.设ABE=,则cos=|BABE|BA|BE|=55,sin=1-cos2=255.故点A到直线BE的距离d1=|BA|sin=1255=255,故A错误,B正确.A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则nA1B=0,nA1D=0,所以x-z=0,y-z=0,令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离d2=|A1D1n|n|=13=33.因为易证得平
12、面A1BD平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33,故C正确.因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,23,又AB=(1,0,0),则|APAB|AB|=34,所以点P到AB的距离d3=|AP|2-|APAB|AB|2=181144-916=56,故D错误.答案BC11.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=13DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为.解析以点D为坐标原点
13、,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则E1,1,12,F0,1,12,G0,0,13,D1(0,0,1),A1(1,0,1),EF=(-1,0,0),FG=0,-1,-16,D1A1=(1,0,0),D1A1EF.又EF平面EFGH,D1A1平面EFGH,D1A1平面EFGH.A1D1到平面EFGH的距离,即为D1到平面EFGH的距离.设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),则nEF=0,nFG=0,即-x=0,y+16z=0,令z=6,则y=-1,n=(0,-1,6),又D1F=0,1,-12,点D1到平面EFGH的距离d=|D1Fn|n|=4
14、37=43737,A1D1到平面EFGH的距离为43737.答案4373712.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为.解析如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),EF=MN,BF=AM,EFMN,BFAM,EFBF=F,MNAM=M.平面AMN平面EFBD.设n=(x,y,
15、z)是平面AMN的法向量,则nMN=2x+2y=0,nAM=-2x+4z=0,解得x=2z,y=-2z.取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.AB=(0,4,0),平面AMN与平面EFBD间的距离d=|nAB|n|=83.答案8313.如图,已知四边形ABCD为矩形,四边形ABEF为直角梯形,FAAB,AD=AF=FE=1,AB=2,ADBE.(1)求证:BEDE;(2)求点F到平面CBE的距离.解四边形ABCD为矩形,ADAB.又ADBE,ABBE=B,AD平面ABEF,又AD平面ABCD,平面ABCD平面ABEF.
16、FAAB,平面ABCD平面ABEF=AB,FA平面ABCD.FAAD.(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,则B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),BE=(0,-1,1),DE=(-1,1,1),BEDE=0(-1)+(-1)1+11=0,BEDE,BEDE.(2)由(1)得BC=(1,0,0),BE=(0,-1,1),FE=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面CBE的法向量,则由nBC=0,nBE=0,得x=0,-y+z=0,令y=1,得z=1,n=(0,1,1)是平面CBE的一个法向量.设点F到平面CBE的距离为d,则d=|FEn|
17、n|=12=22.点F到平面CBE的距离为22.14.如图,在梯形ABCD中,ADBC,ABC=2,AB=BC=13AD=a,PA平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CFPC.(1)求点A到平面PCF的距离;(2)求AD到平面PBC的距离.解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图.则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),则CF=(-a,m-a,0),CP=(-a,-a,a).PCCF,CFCP,CFCP=(-a)(-a)+(m-a)(-a)+0=a2-a(m-a)=0,m=2a,即F(0,
18、2a,0).设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),则nCF=-ax+ay=0,nCP=-ax-ay+az=0,解得x=y,z=2x.取x=1,得n=(1,1,2).设点A到平面PCF的距离为d,由AC=(a,a,0),得d=|ACn|n|=a1+a1+026=63a.(2)由于BP=(-a,0,a),BC=(0,a,0),AP=(0,0,a).设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),由n1BP=-ax0+az0=0,n1BC=ay0=0,得x0=z0,y0=0.取x0=1,得n1=(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h,ADBC,AD平面PBC,AD平面PBC,设h为AD到
19、平面PBC的距离,h=|APn1|n1|=a2=22a.学科素养创新练15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,说明理由.解存在.取AD的中点O,在PAD中,PA=PD,POAD.又侧面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),则CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0).假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为32,设Q(0,y,0)(-1y1),则CQ=(-1,y,0).设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),则nCP=0,nCD=0,-x0+z0=0,-x0+y0=0,即x0=y0=z0,取x0=1,则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).点Q到平面PCD的距离d=|CQn|n|=|-1+y|3=32,y=-12或y=52(舍去).此时AQ=0,12,0,QD=0,32,0,则|AQ|=12,|QD|=32.存在点Q满足题意,此时AQQD=13.12