1、三 排序不等式考 纲 定 位重 难 突 破1.了解排序不等式的数学思想和背景2.了解排序不等式的结构与基本原理3.理解排序不等式的简单应用.重点：排序不等式的结构与基本原理.难点：排序不等式的简单应用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、顺序和、乱序和、反序和的概念设 a1a2a3an，b1b2b3bn 为两组实数，c1，c2，cn 是 b1，b2，bn 的任一排列，则称 ai 与 bi(i1,2，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和为反序和a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1
2、二、排序不等式(排序原理)设 a1a2an，b1b2bn 为两组实数，c1，c2，cn 是 b1，b2，bn 的任一排列，则 ，当且仅当 a1a2an 或 b1b2bn 时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 顺序和a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn反序和乱序和双基自测1已知 a，b，cR，则 a5b5c5 与 a3b2b3c2c3a2 的大小关系是()Aa5b5c5a3b2b3c2c3a2Ba5b5c5a3b2b3c2c3a2Ca5b5c50，由不等式的单调性，知 abacbc，1c1b1a.由排序不等式，知ab1cac1bbc1aab1bac1abc1
3、c，即所证不等式bca cab abc abc 成立1利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和利用排序不等式证明即可2若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等关系来解题1设 a，b，c 为正数，求证：a12bcb12acc12aba10b10c10.证明：不妨设 abc0，则 a12b12c12，1bc 1ac 1ab0，由顺序和乱序和，得a12bcb12acc12aba12abb12bcc12aca11b b11c c11a
4、.又a11b11c11，1c1b1a，由乱序和反序和，得a11b b11c c11a a11a b11b c11c a10b10c10，由两式得：a12bcb12acc12aba10b10c10.探究二 利用排序不等式求最值 例 2 设 a，b，c 为任意正数，求 abc bca cab的最小值解析 不妨设 abc，则 abacbc，1bc 1ca 1ab，由排序不等式得，abc bca cab bbc cca aababc bca cab cbc aca bab上述两式相加得：2abc bca cab 3，即 abc bca cab32.当且仅当 abc 时，abc bca cab取最小值3
5、2.利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可一般最值是顺序和或反序和2设 0v2vn 为 v1，v2，vn 从大到小的排列，显然 1v1 1v20，使得 b1x1x2，b2x2x3，bn1xn1xn，bnxnx1.由排序不等式有：b1b2bnx1x2x2x3xnx1x1 1x1x2 1x2xn 1xnn，当且仅当 x1x2xn 时取等号，所以a1Gna2GnanGnn，即a1a2annGn，即 AnGn.答案 AnGn规律探究(1)
6、利用排序不等式的关键是正确地寻找两组有序实数组，构造的恰当是正确解题的前提，如本例中构造的两组数，恰好能够解决反序和为 n，使得问题得以解决(2)利用排序不等式求解完成后，一定要说明等号成立的条件，若取不到等号也应该说明原因，使得解题更加清晰和准确(3)运用排序不等式的解题步骤是构造两组有序数组使之满足排序不等式的条件；运用排序不等式得到不等关系；找出等号成立的条件并以此得出证明的结论.随堂训练 1设正实数 a1，a2，a3 的任一排列为 a1，a2，a3，则 a1a1 a2a2 a3a3的最小值为()A3 B6C9 D12解析：设 a1a2a30，则 1a3 1a2 1a10，由排列不等式可
7、知a1a1 a2a2 a3a3a1a1a2a2a3a33.当且仅当 a1a1，a2a2，a3a3 时等号成立答案：A2设 a1，a2，a3 为正数，Ea1a2a3 a2a3a1 a3a1a2，Fa1a2a3，则 E，F 的大小关系是()AE0，于是 1a1 1a2 1a3，a2a3a3a1a1a2.由排序不等式：顺序和乱序和，得a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2 1a2a2a3 1a3a3a1 1a1a1a2a3a1a2，即a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2 a1a2a3.EF.答案：B3已知 a，b，x，yR，且1a1b，xy，则 xxa_ yyb(填“”或“1b，a0，b0，ba0，又 xy0，bxay，bxay0，又 xa0，yb0，xxa yybbxayxayb0，即 xxa yyb.答案：课时作业