1、专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A. Bp C2p D无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x，yp，|AB|min2p.2已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A4 B6 C8 D9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F(4,0)，于是由双曲线定义得|PF|PF|2a4，故|PF|PA|2a|PF|PA|4|AF|9，当且仅当A、P、F三点共线时等号成立3直线l与抛物线C：y22x交于A，B两
2、点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2，则l一定过点()A(3,0) B(3,0) C(1,3) D(2,0)答案A解析设直线l的方程为xmyb，联立直线和抛物线的方程得整理得y22my2b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y22b，y1y22m，故x1x2(my1b)(my2b)m2y1y2mb(y1y2)b22bm22bm2b2b2.因为k1k2，解得b3，故l的横截距为定值3，即l一定过点(3,0)4设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，即P，Q两点间的最大距离是()A5 B. C6 D7答案C解析解法一：设Q(x，y)
3、，1y1.因为圆x2(y6)22的圆心为T(0,6)，半径r，则|QT|5，当y时取等号，所以|PQ|max56.故选C.解法二：设Q(cos，sin)，圆心为M，由已知得M(0,6)，则|MQ| 5，故|PQ|max56.5已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是，那么直线PA1的斜率的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析解法一：设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，易知A1(2,0)，A2(2,0)，则有k1k2，因为2k21，所以k10且21，即12，解得k1.故选B.解法二：设直线PA2的斜率为k2，令k21，则
4、直线PA2的方程为y(x2)，代入椭圆方程并整理得7x216x40，解得x12，x2，从而可得点P的坐标为，于是直线PA1的斜率k1.同理，令k22，可得k1.结合选项知，选项B正确6已知A，B为抛物线y22px(p0)上的两动点，F为其焦点，且满足AFB60，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线，垂足为N，|MN|AB|，则的最大值为()A1 B. C. D2答案A解析过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，C，因为M为线段AB的中点，BCAD，所以|MN|(|BC|AD|)，又因为|AF|AD|，|BF|BC|，所以|MN|(|BF|AF|)，又|MN|AB|，所以2|AB|AF|BF|，两边
5、平方得42|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|，即42.在ABF中，由余弦定理得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos60，即|AB|2|AF|2|BF|2|AF|BF|，所以42，由|AB|2|AF|2|BF|2|AF|BF|2|AF|BF|AF|BF|AF|BF|，故|AB|2|AF|BF|，所以424，因为0，所以0b0)的离心率e，且过点(0，)，椭圆C的长轴的两端点为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线x4与直线PA，PB分别交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在定点经过以MN为直径的圆？若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由解(1
6、)由题意，可得解得椭圆C的方程为1.(2)a2，A(2,0)，B(2,0)，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，P(x0，y0)，则k1，k2，k1k2.由lPA：yk1(x2)，知M(4,6k1)，由lPB：yk2(x2)，知N(4,2k2)，MN的中点为G(4,3k1k2)以MN为直径的圆的方程为(x4)2(y3k1k2)2(6k12k2)2(3k1k2)2.令y0，得x28x169k6k1k2k9k6k1k2k，化简得x28x1612k1k20.将k1k2代入，得x28x16120，即x28x70，解得x7或x1.在x轴上存在定点(1,0)，(7,0)经过以MN为直径的圆11已知椭圆C的
7、中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线ykx(k0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解(1)解法一：设椭圆C的方程为1(ab0)因为椭圆的左焦点为F1(2,0)，所以a2b24.设椭圆的右焦点为F2(2,0)，已知点B(2，)在椭圆C上，由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a，所以2a34，所以a2，从而b2.所以椭圆C的方程为1.解法二：设椭圆C的方程为1(ab0)因为椭
8、圆的左焦点为F1(2,0)，所以a2b24.因为点B(2，)在椭圆C上，所以1.由解得a2，b2.所以椭圆C的方程为1.(2)因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为(2，0)因为直线ykx(k0)与椭圆1交于E，F两点，设点E(x0，y0)(不妨设x00)，则点F(x0，y0)联立方程组消去y得x2.所以x0，y0.所以直线AE的方程为y(x2)因为直线AE与y轴交于点M，令x0，得y，即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点P(t,0)，使得MPN为直角，则0，即t20，即t240，解得t2或t2.故存在点P(2,0)或P(2,0)，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角12已知抛物线
9、C：y22px经过点M(2,2)，C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴(1)求线段ON的长；(2)设不经过点M和N的动直线l2：xmyb交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA，ME，MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由解(1)由抛物线C：y22px经过点M(2,2)，得224p，故p1，抛物线C的方程为y22x.C在第一象限的图象对应的函数解析式为y，则y.故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y2(x2)令y0，得x2，所以点N的坐标为(2,0)，故线段ON的长为2.(2)l2恒过定点(2,0)，理由如下：由题意可知直线l1的方程为x2.因为l2
10、与l1相交，所以m0.由l2：xmyb，令x2，得y，故E.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x，得y22my2b0，则y1y22m，y1y22b.直线MA的斜率为，同理，直线MB的斜率为，直线ME的斜率为.因为直线MA，ME，MB的斜率依次成等差数列，所以21，即11，整理得.因为l2不经过点N，所以b2，所以2mb22m，即b2，故l2的方程为xmy2，即l2恒过定点(2,0)13已知椭圆C：y21(a0)，过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆x2y2相切(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k
11、2，且k1k22，证明：直线AB过定点解(1)直线l过点(a,0)和(0,1)，直线l方程为xaya0，直线l与圆x2y2相切，解得a22，椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由k1k22，得2，得x01.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(12k2)x24kmx2m220，得x1x2，x1x2，k1k2222，即(22k)x2x1(m1)(x2x1)(22k)(2m22)(m1)(4km)由m1，(1k)(m1)kmkm1，即ykxm(m1)xmm(x1)yx.故直线AB
12、过定点(1，1)14已知抛物线C：y22px(p0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，已知点N(2，m)为抛物线C上一点，且|NF|4.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交y轴于点M，且a，b，a，bR，对任意的直线l，ab是否为定值？若是，求出ab的值；否则，说明理由解(1)因为|NF|4，由抛物线的定义知xN4，即24，所以p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)显然直线l的斜率存在且一定不等于零，设其方程为xty2(t0)，则直线l与y轴交点为M.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y28ty160，所以(8t)2(64)64(t21)0，y1y28t，y1y216.由a，得a(2x1，y1)，所以a1，同理可得b1，ab221.所以ab为定值1.
