1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第1讲 不等式的性质与一元二次不等式概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)ab0，cd0adbc.()(3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实根数，则不等式ax2bxc0 的解集为 R.()(4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0且 b24ac0.()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 不等式的性质及应用例 1若1a1b0，给出下列不等式：1ab 1ab；|a|b0；a1ab1b；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A
2、BCD解析 法一因为1a1b0，故可取 a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为 ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误综上所述，可排除 A，B，D.深度思考判断不等式是否成立，常采用特殊值法进行排除但为了更好理解不等式的性质，请你利用不等式的性质判断一下结束放映返回目录第4页 考点突破考点一 不等式的性质及应用例 1若1a1b0，给出下列不等式：1ab 1ab；|a|b0；a1ab1b；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()ABCD解析 法二由1a1b0，可知 ba0.中，因为 ab0，ab0，所以 1ab0，1ab0.故有 1ab 1ab，即正确
3、；中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；结束放映返回目录第5页 考点突破考点一 不等式的性质及应用例 1若1a1b0，给出下列不等式：1ab 1ab；|a|b0；a1ab1b；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()ABCD中，因为 ba0，根据 yx2 在(，0)上为减函数，可得b2a20，而 yln x 在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确答案 C中，因为 ba0，又1a1b0，则1a1b0所以 a1ab1b，故正确；结束放映返回目录第6页 考点突破规律方法判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个
4、验证；二是特殊法排除，而常见的反例构成方式可以从以下几个方面思考：（1）不等式的两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或 0；（2）不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等式方向不一定保持不变；（3）不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等。考点一 不等式的性质及应用结束放映返回目录第7页【训练 1】(1)(2014三明模拟)若 ab0，则下列不等式一定成立的是()A.1ab1bBa2abC.|b|a|b|1|a|1Danbn解析(1)考点突破(特值法)a2，b1，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确；取 C 项，|b|a|b|1|a|1考点一
5、 不等式的性质及应用|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|a|成立，故选 C.结束放映返回目录第8页【训练 1】(2)(2012湖南卷)设 ab1，c0，给出下列三个结论：cacb；acbc；logb(ac)loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()ABCD解析(2)考点突破由不等式性质及 ab1 知1a1b，又 c0，所以cacb，正确；构造函数 yxc，c0，yxc 在(0，)上是减函数，又ab1，acbc，知正确；考点一 不等式的性质及应用ab1，c0，acbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正确答案(1)C(2
6、)D结束放映返回目录第9页【例题 2】(1)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a()A.52B.72C.154D.152考点突破考点二 一元二次不等式的解法解析（1）法一由 x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，因为 a0，所以不等式的解集为(2a，4a)又不等式的解集为(x1，x2)，所以 x12a，x24a.从而 x2x16a15，解得 a52.法二 由条件知，x1和 x2 是方程 x22ax8a20 的两根，xyx2x1O则 x1x22a，x1x28a2，所以(x2x1)2(x2x1)24x1x24a232a236a2152.又
7、 a0，所以 a52，故选 A.结束放映返回目录第10页【例题 2】(2)解关于 x 的不等式 kx22xk0(kR)考点突破考点二 一元二次不等式的解法解析（2）当 k0 时，不等式的解为 x0.当 k0 时，若 44k20，即 0k1 时不等式的解为1 1k2kx1 1k2k；若 0，即 k1 时，不等式无解当 k0 时 若 44k20，即1k0 时，x1 1k2k或 x1 1k2k；若 0，即 k1 时，不等式的解集为 R；若 0，即 k1 时，不等式的解为 x1.结束放映返回目录第11页【例题 2】(2)解关于 x 的不等式 kx22xk0(kR)考点突破考点二 一元二次不等式的解法综
8、上所述，k1 时，不等式的解集为；0k1 时，不等式的解集为x|1 1k2kx1 1k2k；k0 时，不等式的解集为x|x0；当1k0 时，不等式的解集为x|x1 1k2k，或x1 1k2k；k1 时，不等式的解集为x|x1；k1 时，不等式的解集为 R.结束放映返回目录第12页 考点突破规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的
9、情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集考点二 一元二次不等式的解法结束放映返回目录第13页 考点突破训练 2 解关于 x 的不等式：ax222xax(aR)考点二 一元二次不等式的解法解 原不等式可化为 ax2(a2)x20.当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0，解得 x2a或 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0.当2a1，即 a2 时，解得1x2a；当2a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意；当2a1，即 a2，解得2ax1.2a2a结束放映返回目录第14页 考点突破训练 2 解关于 x
10、 的不等式：ax222xax(aR)考点二 一元二次不等式的解法综上所述,当 a0 时,不等式的解集为x|x1;当 a0 时，不等式的解集为xx2a，或x1;当2a0 时，不等式的解集为x2ax1；当 a2 时，不等式的解集为x|x1；当 a2 时，不等式的解集为x1x2a.结束放映返回目录第15页 考点突破考点三 不等式恒成立问题例 3 设函数 f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围；(2)见下页。深度思考 关于不等式恒成立求参数范围可以利用分离参数法，本题第二问还可用二次函数在闭区间上的最值来求解解（1）则m0，m24m0 4m0所以4m0.
11、yxO要使 mx2mx10 恒成立，若 m=0,显然10，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1因为函数 y6x2x1=6x12234在 x1,3上的最小值为67所以只需 m67即可.所以 m 的取值范围是，67.结束放映返回目录第17页 考点突破考点三 不等式恒成立问题(2)若对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围(2)法二 令 g(x)mx12234m6，x1,3当 m0 时，g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以 m67，则 0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数，所以 g(x)maxg(1
12、)m60，所以 m6，所以 m0.综上所述：m 的取值范围是mm67.12x 对称轴结束放映返回目录第18页 规律方法(1)不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0.不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单考点三 不等式恒成立问题考点突破结束放映返回目录第19页 考点突破解析 即 x22xa0 恒成立
13、训练 3 已知函数 f(x)x22xax，若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围因为 x1，)时，f(x)x22xax0 恒成立，即当 x1 时，a(x22x)恒成立设 g(x)(x22x)，而 g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，所以 g(x)maxg(1)3，故 a3.所以，实数 a 的取值范围是a|a3考点三 不等式恒成立问题xy112543211O结束放映返回目录第20页 思想方法课堂小结1判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单2比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法的主要步骤为作差变形判断正负3“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a0 的情况转化为 a0 时的情形4简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解结束放映返回目录第21页 易错防范课堂小结1不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号2在解含有参数的不等式时，分类讨论的划分一定要明确，先进行大的分类，在每大类中再进行小的分类，注意分类要做到不重不漏3当不等式的二次项系数含有参数时，一定不要忽略这个系数可能等于零的情况结束放映返回目录第22页（见教辅）
