1、6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 第六章 平面向量及其应用 学 习 任 务核 心 素 养 1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点)2能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)1通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养 2借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养 情境导学探新知 NO.1 古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，B
2、AC，ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD问题：你知道古埃及人是如何利用这些数据计算的吗？知识点 正弦定理 1正弦定理 条件在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 bsin B 文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等 asin Acsin C正弦2正弦定理的变形 若R为ABC外接圆的半径，则(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；(3)sin Asin Bsin Cabc；(4)abcsin Asin Bsin C2R 如图，在RtABC中，asin A，bsin B，csi
3、n C 各自等于什么？提示 asin A bsin Bcsin Cc 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正弦定理不适用直角三角形()(2)在ABC中，bsin Aasin B总成立()(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值()答案(1)(2)(3)2在ABC中，下列式子与sin Aa 的值相等的是()Abc Bsin Bsin A Csin Cc Dcsin C C 由正弦定理得，asin Acsin C，所以sin Aa sin Cc 3在ABC中，已知A30，B60，a10，则b等于()A5 2 B10 3 C10 33 D5 6 B 由正弦定理得，basi
4、n Bsin A 10 321210 3 4在ABC中，若a3，b 3，A3，则C_ 2 由正弦定理得：3sin 33sin B，所以sin B12 又ab，所以AB，所以B6，所以C36 2 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 已知两角一边解三角形【例1】(对接教材P47例7)在ABC中，已知B30，C105，b4，解三角形 解 因为B30，C105，所以A180(BC)180(30105)45 由正弦定理，得asin 454sin 30csin 105，解得a4sin 45sin 30 4 2，c4sin 105sin 30 2(6 2)已知两角及一边解三角形的解题方法
5、(1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边(2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边 跟进训练 1在ABC中，已知A60，tanB2，a2，则c_ 2 3 23 因为tan B 2，所以sin B 63，cos B 33 又A60，所以sin Csin180(AB)sin(120B)sin 120cos Bcos 120sin B12 66 由正弦定理，得 asin Acsin C，即casin Csin A212 66322 3 23 类型2 已知两边和其中一边的对角解三角形【
6、例2】(对接教材P47例8)在ABC中，已知a2，b2，A45，解三角形 解 由正弦定理，得sin B bsin Aa2sin 452 12 因为ba，所以BA，所以B30(B150舍去)于是C1804530105由正弦定理，得c asin Csin A2sin 105sin 45 31 已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值(2)当已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角(3)当已知的角为小边所对的角时，不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论 跟进
7、训练 2已知B30，b 2，c2，求A，C，a 解 由正弦定理得：sin Ccsin Bb2sin 302 22，cb,0C180，C45或135 当C45时，A105，absin Asin B 2sin 105sin 30 31，当C135时，A15，absin Asin B 2sin 15sin 30 31 类型3 三角形形状的判断【例3】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状 由 asin A2R，bsin B2R，csin C2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示 由asin A2R，bsin B2R，csi
8、n C2R可以得到的变形：sinA a2R，a2Rsin A；sin B b2R，b2Rsin B；sin C c2R，c2Rsin C.由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化.解 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得 asin A bsin Bcsin C，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B 22 0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形 法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得 asin A bsin Bcsin C，sin2Asin2Bsin
9、2C，a2b2c2，A是直角 A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0 又90BCsin B，则有()AabDa，b的大小无法判定 C 因为 asin A bsin B，所以absin Asin B 因为在ABC中，sin Asin B0，所以absin Asin B1，所以ab 2(多选题)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，b 3，A30，则B的大小可能为()A30 B150 C60 D120 CD 由正弦定理 asin A bsin B，得sin Bbsin Aa 312132 又ba,0B180，所以B60或B120，故选CD 3在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰三角形 C等边三角形D不等边三角形 B 由正弦定理知c2Rsin C，a2Rsin A，故sin C2sin Acos Bsin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，所以AB 故ABC为等腰三角形 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
