1、专题六 导数讲义6.1导数的几何意义切线知识梳理.导数的几何意义1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数一般地，称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)n
2、xn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)f(x)ln x (x0)f(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积题型一. 在某点的切线1函数f（x）xlnxx3x+1的图象在x1处的切线方程是3x+y2
3、0（或y3x+2）【解答】解：由题意可得f（x）lnx3x2，则f（1）3，f（1）1，故所求切线方程为y+13（x1），即3x+y20故答案为：3x+y20（或y3x+2）2直线ykx+1与曲线yx3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值为1【解答】解：yx3+ax+b的导数为y3x2+a，可得切线的斜率为k3+a，又k+13，1+a+b3，解得k2，a1，b3，即有2a+b2+31故答案为：13已知曲线y=1ex+1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（）Ax+4y20Bx4y+20C4x+2y10D4x2y10【解答】解：y=1ex+1的导数为y=ex(ex+1)2，即有e
4、x(ex+1)2=1ex+ex+212exex+2=14当且仅当x0时，取得等号即有切线的斜率为k=14，切点为（0，12），则切线的方程为y=14x+12，即为x+4y20故选：A题型二. 过某点的切线1已知函数f（x）x25x+7，求经过点A（1，2）的曲线f（x）的切线方程【解答】解：设切点坐标为（x0，x025x0+7），f（x0）2x05，切线方程为y2（2x05）（x1），又切线过点（x0，x025x0+7），x025x0+72（2x05）（x01），整理得x022x00，解得x02或x00，经过A（1，2）的曲线f（x）的切线方程为x+y30或5x+y702已知直线yx+1与曲线
5、yln（x+a）相切，则a的值为（）A1B2C1D2【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0x0+1，y0ln（x0+a），又y|x=x0=1x0+a=1x0+a1y00，x01a2故选：B3已知曲线C：f（x）x3ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（）A278B2C2D278【解答】解：由f（x）x3ax+a，得f（x）3x2a，设切点为(x0，x03ax0+a)，f(x0)=3x02a，过切点的切线方程为yx03+ax0a=(3x02a)(xx0)，切线过点A（1，0），x03+ax0a=(3x02a)(1x0)，解得：x00或x0=3
6、2f（0）a，f(32)=274a，由两切线倾斜角互补，得a=a274，a=278故选：A题型三. 已知切线求参数的取值范围1函数f（x）ax213x3（x0）的图象存在与直线xy+20平行的切线，则实数a的取值范围是（）A（，1B1，+）C（，11，+）D（，1）（1，+）【解答】解：f（x）2axx2，（x0）由题意，只需f（x）2axx21，（x0）有解，则只需yf（x）（x0）的值域中包含1即可当a0时，f（x）0，显然不符合题意；当a0时，f（x）的开口向下，在对称轴x=1a处取得最大值，故f(1a)=2a1a1a21，即a21，结合a0得，a1即为所求故选：B2已知过点A（a，0）
7、作曲线C：yxex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A（，4）（0，+）B（0，+）C（，1）（1，+）D（，1）【解答】解：设切点为（m，mem），yxex的导数为y（x+1）ex，可得切线的斜率为（m+1）em，则切线方程为ymem（m+1）em（xm），切线过点A（a，0）代入得mem（m+1）em（am），可得a=m2m+1，即方程m2maa0有两个解，则有a2+4a0可得a0或a4即a的取值范围是（，4）（0，+）故选：A3已知函数y=12x2的图象在点(x0，12x02)处的切线为直线l，若直线l与函数ylnx，x（0，1）的图象相切，则x0必满足条件（）A0x01B1x
8、02C2x03D3x02【解答】解：函数y=12x2的导数为yx，在点（x0，12x02）处的切线的斜率为kx0，切线方程为y12x02x0（xx0），设切线与ylnx相切的切点为（m，lnm），0m1，即有ylnx的导数为y=1x，可得x0=1m，切线方程为ylnm=1m（xm），令x0，可得ylnm1=12x02，由0m1，可得x01，且x022，解得x02，由m=1x0，可得x022lnx020，令f（x）x22lnx2，x2，f（x）2x2x0，f（x）在（2，+）上递增，且f（3）3ln320，f（2）4ln220，则有x022lnx020的根x0（3，2）故选：D题型四. 距离最值
9、问题1若点P是函数f（x）x2lnx上任意一点，则点P到直线xy20的最小距离为2【解答】解：设xy+m0与函数f（x）x2lnx的图象相切于点P（x0，y0）f（x）2x1x，则2x01x0=1，x00，解得x01y01，点P（1，1）到直线xy20的距离为最小距离d=|112|2=2，故答案为：22（2012全国）设点P在曲线y=12ex上，点Q在曲线yln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A1ln2B2(1ln2)C1+ln2D2(1+ln2)【解答】解：函数y=12ex与函数yln（2x）互为反函数，图象关于yx对称，函数y=12ex上的点P(x，12ex)到直线yx的距离为d=|12
10、exx|2，设g（x）=12exx（x0），则g（x）=12ex1，由g（x）=12ex10可得xln2，由g（x）=12ex10可得0xln2，函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在ln2，+）单调递增，当xln2时，函数g（x）min1ln2，dmin=1ln22，由图象关于yx对称得：|PQ|最小值为2dmin=2(1ln2)故选：B题型五. 公切线问题1设函数f(x)=p(x1x)2lnx，g(x)=2ex若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；【解答】解：f（x）p+px22x，f（1）2（p1），设直线l：y2（p1）（x
11、1），l与g（x）图象相切，y2（p1）（x1），得（p1）（x1）=ex，即（p1）x2（p1）xe0，y=2ex当p1时，方程无解；当p1时由（p1）24（p1）（e）0，得p14e，综上，p14e2若直线ykx+b是曲线ylnx+2的切线，也是曲线yln（x+1）的切线，则b1ln2【解答】解：设ykx+b与ylnx+2和yln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=1x1=1x2+1，得x1x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+b=lnx1+2kx2+b=ln(x2+1)联立上述式子解得k=2x1=12x2=12；从而kx1+b
12、lnx1+2得出b1ln23若存在a0，使得函数f（x）6a2lnx+4ax与g（x）x2b在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（）A1e2B12e2C13e2D3e2【解答】解：设公共点为（x，y），（x0），且f(x)=6a2x+4a，g(x)=2x所以6a2lnx+4ax=x2b6a2x+4a=2x（a0），由得x22ax3a20，解得x3a或a（舍）将x3a代入式整理得：b3a26a2ln（3a），（a0）令h（a）3a26a2ln（3a），（a0），(a)=6a12aln(3a)+6a233a=12aln（3a）+1，令h（a）0得，a=13e，且x(0，13e)时，(
13、a)0；x(13e，+)时，h（a）0故h（a）在（0，13e）上递增，在（13e，+）上递减故h（a）maxh（13e）=13e2故b的最大值为13e2故选：C课后作业.切线1函数f（x）ln（x2+1）的图象在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为（）A0B2C3D4【解答】解：函数f（x）ln（x2+1）的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为（1x2+12x）|x11，设函数f（x）ln（x2+1）的图象在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为，则tan1，=4，故选：D2已知：过点M（m，0）可作函数f（x）x22x+t图象的两条切线l1，l2，且l1l2，则t（）A1B54C32D2【解答
14、】解：设切点为（n，n22n+t），f（x）2x2，故切线斜率为2n2所以切线方程：y（n22n+t）（2n2）（xn），将（m，0）代入整理得：n22mn+2mt0，设l1，l2的切点横坐标分别为n1，n2，则：n1+n22m，n1n22mt因为l1l2，所以f（n1）f（n2）（2n12）（2n22）4n1n24（n1+n2）+41结合韦达定理得4（2mt）42m+41，解得t=54故选：B3已知函数f（x）2lnx+x2+ax，若曲线yf（x）存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A（，2B（，2）C（2，+）D2，+）【解答】解：函数f（x）2lnx+x2+ax存在与直
15、线2xy0平行的切线，即f（x）2在（0，+）上有解，而f（x）21x+2x+a，即2x+2x+a2在（0，+）上有解，a22（x+1x），因为x0，所以x+1x2，x1时，等号成立，即有a24，所以a的取值范围是（，2故选：A4若函数f（x）lnx与函数g（x）x2+2x+lna（x0）有公切线，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B(0，12e)C（1，+）D(12e，+)【解答】解：设f（x）的切点为（x1，lnx1），因为f(x)=1x，所以切线为：ylnx1=1x1(xx1)，即y=1x1x+lnx11，（x10）设g（x）的切点为（x2，x22+2x2+lna），因为g（x）2x+2，故切线为：y(x22+2x2+lna)=（2x2+2）（xx2）即y=(2x2+2)xx22+lna（x20）因为是公切线，所以1x1=2x2+2lnx11=x22+lna，消去x1得，lna=x221+ln12(x2+1)，令h（x）=x2+ln12(x+1)1，x（1，0）(x)=2x1x+1=2x2+2x1x+1，y2x2+2x1开口向上，且y|x1y|x010，x+10所以h（x）0，故h（x）在（1，0）上单调递减，故h（x）h（0）=ln121=ln12e，即lnaln12e，故a12e故选：D
