1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第3讲 等比数列及其前n项和概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.()(3)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为Sna（1an）1a.()(4)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8 成等比数列()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 等比数列中基本量的求解例 1(1)在等比数列an中，a42，a716，则 an_(2)在等比数列
2、an中，a2a518，a3a69，an1，则 n_解析(1)由a7a4q38，知 q2，所以 ana4qn422n42n3.(2)因为 a3a6q(a2a5)，所以 q12，由 a1qa1q418，知 a132，所以 ana1qn11，解得 n6.结束放映返回目录第4页 考点突破考点一 等比数列中基本量的求解例 1(3)设an是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和已知a2a41，S37，则 S5 等于()A.152B.314C.334D.172解析(3)显然公比 q1，由题意得a1qa1q31，a1（1q3）1q7，解得a14，q12或a19，q13(舍去)，S5a1（1q5）1q41
3、 125112314.答案(1)2n3(2)6(3)B结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解考点一 等比数列中基本量的求解结束放映返回目录第6页【训练 1】在等比数列an中，a2a12，且 2a2 为 3a1和 a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前 n 项和解析考点突破设该数列的公比为 q，由已知可得 a1qa12，4a1q3a1a1q2，所以 a1(q1)2，q24q30，解得 q3 或 q1.由于 a1(q1)2，因此 q1 不合题意，应舍去故
4、公比 q3，首项 a11.所以数列的前 n 项和 Sn3n12.考点一 等比数列中基本量的求解结束放映返回目录第7页【例题 2】(1)公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116，则 log2a10()A4 B5 C6 D7(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S33，则S9S6()A2 B.73 C.83 D3考点突破考点二 等比数列的性质及应用解析(1)法一由等比中项的性质得 a3a11a2716，又数列an各项为正，所以 a74.所以 a10a7q332.所以 log2a105.法二 设等比数列的公比为 q，由题意知，an0，则 a3a11a27a10q3 2
5、 126a21024，所以 a210210，解得 a1025.故 log2a105.结束放映返回目录第8页【例题 2】(1)公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116，则 log2a10()A4 B5 C6 D7(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S33，则S9S6()A2 B.73 C.83 D3考点突破考点二 等比数列的性质及应用(2)由等比数列的性质得：S3，S6S3，S9S6 仍成等比数列，于是，由已知得 S63S3，S6S3S3S9S6S6S3，即 S9S64S3，S97S3，S9S673.答案(1)B(2)B结束放映返回目录第9页 考点突破规律方法(
6、1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mnpq，则 amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用考点二 等比数列的性质及应用结束放映返回目录第10页 考点突破解析(1)由等比中项知 y23，y 3，训练 2(1)已知 x，y，zR，若1，x，y，z，3 成等比数列，则 xyz 的值为()A3 B3 C3 3D3 3(2)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6 等于()A5 2B7 C6 D4 2又y
7、 与1，3 符号相同，y 3，y2xz，所以 xyzy33 3.考点二 等比数列的性质及应用(2)把 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列的第 1 项、第 4 项和第 7 项，这里的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项所以 a4a5a6（a1a2a3）（a7a8a9）5105 2.因为数列an的各项均为正数，答案(1)C(2)A结束放映返回目录第11页 考点突破考点三 等比数列的判定与证明例 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且 anSnn.(1)设 cnan1，求证：cn是等比
8、数列；(2)求数列bn的通项公式（1）证明深度思考 若本题除去第(1)问后如何求bn？在这里给大家介绍一种方法：构造法，如本例中构造等比数列an1anSnn，an1Sn1n1.得 an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an11an1 12，an1是等比数列又 a1a11，a112，首项 c1a11，c112，公比 q12.又 cnan1，cn是以12为首项，以12为公比的等比数列结束放映返回目录第12页 考点突破考点三 等比数列的判定与证明例 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且 anSnn.(1)设 cnan1，求证：c
9、n是等比数列；(2)求数列bn的通项公式（2）解由(1)可知 cn12 12n112n，ancn1112n.当 n2 时，bnanan1112n112n1 12n112n12n.又 b1a112代入上式也符合，bn12n.结束放映返回目录第13页 考点突破规律方法要证明一个数列an是等比数列常用的方法：一是定义法，证明 anan-1q(n2，q 为常数)；二是等比中项法：证明=an-1.an+1,若判断一个数列不是等比数列，只需列出反例即可，也可以用反证法。考点三 等比数列的判定与证明结束放映返回目录第14页 考点突破(1)解 依题意，得 adaad15，解得 a5.训练 3 成等差数列的三个
10、正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2，5，13 后成为等比数列bn中的 b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn54 是等比数列设成等差数列的三个正数分别为 ad，a，ad，所以bn中的 b3，b4，b5 依次为 7d，10，18d.依题意，有(7d)(18d)100，考点三 等差数列前n项和的最值问题解得 d2 或 d13(舍去)由 b3b122，即 5b122，解得 b154.所以bn是以54为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式为 bn542n152n3.结束放映返回目录第15页 考点突破(2)证明 训练 3 成等差数列
11、的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2，5，13 后成为等比数列bn中的 b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn54 是等比数列数列bn的前 n 项和 Sn54（12n）1252n254，即 Sn5452n2.考点三 等差数列前n项和的最值问题所以 S15452，Sn154Sn5452n152n22.因此Sn54是以52为首项，2 为公比的等比数列结束放映返回目录第16页 思想方法课堂小结1已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，a2n，1an也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.2判断数列为等比数
12、列的方法(1)定义法：an1an q(q 是不等于 0 的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用 anan1q(q 是不等于 0 的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n的初始值不同(2)等比中项法：a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列结束放映返回目录第17页 易错防范课堂小结1特别注意 q1 时，Snna1 这一特殊情况2由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a10.3在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n 未必成等比数列(例如：当公比 q1 且 n 为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n 不成等比数列；当 q1 或 q1 且 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n 成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.结束放映返回目录第18页（见教辅）
