1、章末分层突破自我校对平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理判定定理相似三角形的性质直角三角形的射影定理证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法解决这类问题一般可分为三步：(1)把等积式化为比例式，从而确定相关的两个三角形相似(2)确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或者竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形. (3)设法找到证明这两个三角形相似的条件如图11，在ABC中，BAC90，BC边的垂直平分线EM和AB，CA的延长线分别交于 D，E，连接AM.图11求证：AM2DMEM.【规范解答】BAC90，M是BC的
2、中点，AMCM，MACC.EMBC，EC90.又BAMMAC90，EBAM.EMAAMD，AMDEMA，AM2DMEM.再练一题1如图12，在ABC中，DEBC，DHGC.求证：EGBH.图12【证明】DEBC，.DHGC，AEABACADAHAG，.EGBH.利用相似三角形证明线段相等证明两条线段相等，一般情况下，利用等角对等边或全等三角形的性质来解决但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来，或过程比较繁琐，此时可以借助于相似三角形的有关比例线段来解决如图13，AD，CF是ABC的两条高线，在AB上取一点P，使APAD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.图13求证：PQCF.
3、【规范解答】AD，CF是ABC的两条高线，ADBBFC.又BB，ABDCBF，.又PQBC，APQB，AQPACB，APQABC.，即，.又APAD，PQCF.再练一题2如图14，已知ABCD的对角线相交于O，延长AB到F，连接OF交BC于E，若ABa，BCb，BFc，求BE的长【导学号：07370023】图14【解】过O作OGAB，交BC于G点COGCAB，CGOCBA，COGCAB，.又O是ABCD的对角线的交点，COCA.OGABa，CGBCb，BGB.又OGAF，OGBGBF，GOFF.OGEFBE，即，BE.射影定理射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间
4、的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错如图15所示，AD，BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H.求证：DF2FGFH.图15【规范解答】BEAC，ABEBAE90，同理，HHAF90，ABEH，又BFGHFA，BFGHFA，BFHFFGAF，BFAFFGFH，在RtADB中，DF2BFAF，DF2FGFH.再练一题3如图16，在ABC中，ACB90，CDAB于D，DEAC于E，EFAB于F.图16求证：CE2BDDF.【证明】ACB90，DEAC，DEBC，.
5、同理CDEF，.ACB90，CDAB，AC2ADAB，CE2BDDF.转化思想在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式加以证明当证明的比例式中的线段在同一条直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量证明比例式成立也常利用中间比来转化证明如图17，在锐角ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，ABC和BDE的面积分别等于18和2，且DE2，求点B到直线AC的距离图17【规范解答】ADBC，CEAB，ADBCEB90.又BB，ADBCEB.，.又BB，BEDBCA. .又DE2，AC6，点B到AC的距离3.再练一题4如图18，四边形ABCD是正方形，E为AD上一点，
6、且AEAD，N是AB的中点，FNCE于F.求证：FN2EFCF.图18【证明】分别连接EN，CN.设正方形的边长为a，则AEa，DEa，ANBNa.EN2AN2AE2a2，CN2BN2BC2a2，CE2DE2CD2a2，EN2CN2CE2，CNE为直角三角形NFCE.根据直角三角形射影定理得FN2EFCF.章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图1，已知DEBC，EFAB，现得到下列式子：图1；.其中正确式子的个数有()A4个B3个C2个D1个【解析】由平行线分线段成比例定理知
7、，正确故选B.【答案】B2如图2，DEBC，SADES四边形DBCE18，则ADDB的值为()【导学号：07370024】图2A14 B13C12D15【解析】由SADES四边形DBCE18，得SADESABC19，DEBC，ADEABC.2，ADDB12.【答案】C3如图3所示，将ABC的高AD三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1S2S3等于()图3A123 B234C135D357【解析】如图所示，E，F分别为ABC高AD的三等分点，过点E作BC的平行线交AB，AC于点M，N，过点F作BC的平行线交AB，AC于点G，H.AMNA
8、BC，S1SABC.又AGHABC，SAGHS1S2，S1S2SABC，S2SABC，S3SABC，S1S2S3135，故选C.【答案】C4如图4，在ABC中，ABAC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD3CE，DE交BC于F，则DFFE等于() 图4A52 B21C31D41【解析】过D作DGAC，交BC于G，则DGDB3CE，即CEDG13.易知DFGEFC，DFFEDGCE，所以DFFE31.【答案】C5如图5所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：图5AOBCOD；AODACB；SDOCSAODCDAB；SAODSBOC.其中正确的个数为()A1B2 C3D4【解析】DC
9、AB，AOBCOD，正确由知，.SDOCSAODOCOACDAB，正确SADCSBCD，SADCSCODSBCDSCOD，SAODSBOC，正确故正确【答案】C6如图6所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高()图6A11.25 m B6.6 mC8 mD10.5 m【解析】本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰AOC等腰BOD，OA1 m，OB16 m，高CE0.5 m，求高DF.由相似三角形的性质可得OAOBCEDF，即1160.5DF，解得DF 8 m.【答案】C7如图7所示，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形40 cm2
10、，SABESDBA15，则AE的长为()图7A4 cm B5 cmC6 cmD7 cm【解析】BAD90，AEBD，ABEDBA.SABESDBAAB2DB2.SABESDBA15，AB2DB215，ABDB1.设ABk，DBk，则AD2k.S矩形40 cm2，k2k40，k2，BDk10，AD4，SABDBDAE20，即10AE20，AE4 cm.【答案】A8如图8，把ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是 ABC的面积的一半，若AB，则此三角形移动的距离AA是() 【导学号：07370025】图8A.1 B.C1D.【解析】由题意可知，阴影部分与ABC
11、相似，且等于ABC面积的，ABAB1.又AB，AB1，AA1.【答案】A9如图9所示，在RtABC中，A30，C90，CDAB于D，则BDAD()图9A.B.C.D.【解析】设CD，则AD3，BD1，.【答案】A10已知圆的直径AB13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，则AD的长为()A8 B9C10D11【解析】如图，连接AC，CB.AB是O的直径，ACB90.设ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2ADDB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.【答案】B11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花
12、木(如图10所示)，他们想在AMD和BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在BMC地带种植同样的太阳花，还需资金()图10A500元 B1 500元C1 800元D2 000元【解析】在梯形ABCD中，ADBC，AMDBMC，AD10 m，BC20 m，2，SAMD5001050(m2)，SBMC200 m2，则还需要资金200102 000(元)【答案】D12如图11所示，将一个矩形纸片BADC沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为()图11A1 B1C.1D.1【解析】矩形AEF
13、B矩形ABCD，BFABABAD.BFAD，AB2AD2，ADAB1.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13如图12，已知DEBC，且BFEF43，则ACAE_.图12【解析】DEBC，同理，.【答案】4314如图13，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于_米. 【导学号：07370026】图13【解析】如图，GCBC，ABBC，GCAB.GCDABD，.设BCx，则，同理，得.，x3，AB6(米)【答案】615如图14所
14、示，在ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，且AD，BE交于点G，那么_.图14【解析】AD，BE是ABC的中线，且AD交BE于G，G是ABC的重心，又D为BC的中点，.【答案】16如图15，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则DE_.图15【解析】法一：因为AB，BC3，所以AC2，tan BAC，所以BAC.在RtBAE中，AEABcos ，则CE2.在ECD中，DE2CE2CD22CECDcos ECD2()22，故DE.法二：如图，作EMAB交AB于点M，作ENAD交AD于点N.因为AB，BC3，所以tan BAC，则BAC，AEABcos ，NEAM
15、AEcos，ANMEAEsin ，ND3.在RtDNE中，DE.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图16，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且BACBDCDAE.图16(1)求证：BEADCDAE；(2)根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想【解】(1)证明：BACDAE，BAEDAC.DAEBDC，AEBADC，ABEACD，即BEADCDAE.(2)猜想：.证明：由(1)ABEACD，又BACEAD，BACEAD，.18(本小题满分12分)如图17，已知正方形ABCD
16、的边长为4，P为AB上的一点，且APPB13，PQPC，试求PQ的长图17【解】PQPC，APQBPC90，APQBCP，RtAPQRtBCP.AB4，APPB13，PB3，AP1，即AQ，PQ .19(本小题满分12分)在ABC中，B25，AD是BC边上的高，并且AD2BDDC，求BCA的度数【解】(1)当AD在ABC内部时，如图(1)，由AD2BDDC，可得ABDCAD.BCABAD65；(2)当AD在ABC外部时，如图(2)，由AD2BDDC，得ABDCAD，BCAD25，BCACADADC2590115.故BCA等于65或115.20(本小题满分12分)如图18所示，CD为RtABC斜
17、边AB边上的中线，CECD，CE，连接DE交BC于点F，AC4，BC3.求证：图18(1)ABCEDC；(2)DFEF.【证明】(1)在RtABC中，AC4，BC3，则AB5.D为斜边AB的中点，ADBDCDAB2.5，ABCEDC.(2)由(1)知，BCDF，BDCD，BDCF，CDFDCF.DFCF.由(1)知，ACEF，ACDDCF90，ECFDCF90，ACDECF.由ADCD，得AACD.ECFCEF，CFEF.由，知DFEF.21(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD中，ADBC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CEAB.(1)若
18、点P在梯形内部，如图19(1)求证：BP2PEPF.(2)若点P在梯形的外部，如图19(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由(1)(2)图19【解】(1)证明：连接PC，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以PBPC，PBCPCB.因为梯形ABCD是等腰梯形，所以ABCDCB，即ABPPBCPCBDCP，所以ABPDCP.又因为CEAB，所以EABPDCP，而CPEFPC，所以CPEFPC.所以，即PC2PEPF，又因为PCBP，所以BP2PEPF.(2)结论成立证明如下：连接PC，由对称性知PBPC，所以PBCPCB.因为梯形ABCD是等腰梯形，所以ABCDCB
19、，所以ABCPBCDCBPCB，即ABPDCP.因为CEAB，所以ABPPEC180，而DCPPCF180，所以PECPCF.又因为EPCCPF，所以EPCCPF.所以，即PC2PEPF，所以BP2PEPF.22(本小题满分12分)如图20，在ABC中，ACBC，F为底边AB上的一点，(m，n0)取CF的中点D，连接AD并延长交BC于E.图20(1)求的值；(2)如果BE2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；(3)E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论【导学号：07370027】【解】(1)如图所示，作CGAB交AE的延长线于G.在GCD与AFD中，GFAD，CDGFDA，DCDF，GCDAFD，GCAF.在ABE和GCE中，BAEG，AEBGEC，ABEGCE.(m，n0)，11.(2)BE2EC，2.由(1)知1，1.BFAF，F为AB的中点ACBC，CFAB，CF所在的直线垂直平分边AB.(3)不能1，而0，1，BEEC.E不能为BC的中点
