1、二 圆锥曲线的参数方程第一课时 椭圆的参数方程考 纲 定 位重 难 突 破1.知道椭圆的参数方程，参数的意义.2.会用椭圆的参数方程解决简单问题.重点：理解和掌握椭圆的参数方程.难点：椭圆的参数方程在实际问题中的应用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理椭圆的参数方程1中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆x2a2y2b21 的参数方程是_(是参数)，规定参数 的取值范围是0,2)2 中 心 在(h，k)的 椭 圆 普 通 方 程 为 xh2a2 yk2b2 1，则 其 参 数 方 程 为_(是参数)xacos，ybsin xhacos，ykbsin 双基自
2、测1椭圆xsin，2ycos(为参数)的一个焦点坐标为()A.22，0 B.0，22C.32，0D.0，32解析：由题知椭圆的普通方程为 x24y21.可知椭圆的焦点坐标为 32，0，故选 C.答案：C2过点(3,2)且与曲线x3cos，y2sin(为参数)有相同焦点的椭圆的方程是()A.x215y2101 B.x2152 y21021C.x210y2151 D.x2102 y21521解析：由题易知曲线x3cos，y2sin 化为普通方程为x29 y241.焦点坐标为(5，0)，又所求椭圆过点(3,2)，代入求得选 A.答案：A3椭圆x317cos，y8sin 2(为参数)的中心坐标为_解析
3、：椭圆的普通方程为x32172y22821.椭圆的中心坐标为(3，2)答案：(3，2)4椭圆x24 y22 1 的参数方程是_；椭圆x1225y12161 的参数方程是_答案：x2cos，y 2sin(为参数，0,2)x15cos，y14sin(为参数，0,2)探究一 用椭圆参数方程求最值 例 1 在椭圆x216y2121 上找一点，使这一点到直线 x2y120 的距离最小解析 由题意，椭圆的参数方程为x4cos，y2 3sin (为参数)，则 d|4cos 4 3sin 12|54 55|cos 3sin 3|4 55 2cos3 3，当 cos3 1 时，dmin4 55，此时取 30，3
4、，x4cos3 2，y2 3sin3 3，所求点坐标是(2，3)本题有多种解法，可以利用直线与椭圆相切，转化为平行直线间距离求解，也可以利用距离公式结合二次函数配方解决，但相比之下，参数方程的方法最简单有效1(2016高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x 3cos，ysin(为参数)以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin4 2 2.(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标解析：(1)C1的普通方程为x23 y
5、21，C2的直角坐标方程为 xy40.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(3cos，sin)因为 C2是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2的距离 d()的最小值，d()|3cos sin 4|2 2sin3 2.当且仅当 2k6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标为(32，12)探究二 利用椭圆的参数方程求轨迹方程 例 2 已知 A，B 分别是椭圆x236y291 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求ABC 的重心的轨迹方程解析 由于动点 C 在椭圆上运动，可设 C 的坐标为(6cos，3sin)，由于点 C 不与 A，B 重合，故 0，2
6、2，2.设ABC 的重心 G 的坐标为(x，y)依题意，知 A(6,0)，B(0,3)，由三角形的重心坐标公式，得x606cos 3，y033sin 3，即x22cos，y1sin.其中 0，2 2，2，这就是重心 G 的参数方程，消去参数，得x224(y1)21，点(4,1)及(2,2)除外，所以ABC 的重心的轨迹方程为x224(y1)21，点(4,1)及(2,2)除外利用圆锥曲线的参数方程直接设出圆锥曲线上的点的坐标，从而可以便捷地表示出其他的相关点，为求动点的轨迹带来了方便2.如图，已知圆的方程为 x2y212，椭圆的方程为x225y2161，过原点的射线交圆于 A 点，交椭圆于 B
7、点，过 A，B 分别作 x轴和 y 轴的平行线，求所作两直线的交点 P 的轨迹方程解析：设 A22 cos，22 sin ，B(5cos，4sin)，则所求轨迹的参数方程为x5cos，y 22 sin.由 O，A，B 三点共线，知 kOAkOB，从而 tan 45tan ，由得 tan225x2x2，由得 tan2 2y212y2.将两边平方得 tan21625tan2，把代入化简整理得 8x29x2y2400y2200，所求轨迹方程为 8x29x2y2400y2200.探究三 利用椭圆的参数方程解决恒成立问题 例 3 已知椭圆x24 y21 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1，B
8、2 的连线分别交 x 轴于 P、Q 两点，求证：|OP|OQ|为定值证明 设 M(2cos，sin)，为参数，B1(0，1)，B2(0,1)则 MB1 的方程：y1sin 12cos x，令 y0，则 x 2cos sin 1，即|OP|2cos 1sin .MB2 的方程：y1sin 12cos x，令 y0，则 x 2cos 1sin.|OQ|2cos 1sin .|OP|OQ|2cos 1sin 2cos 1sin 4.即|OP|OQ|4 为定值利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可3
9、曲线xacos，ybsin(ab0)上一点 M 与两焦点 F1、F2 所成角为F1MF2.求证：F1MF2 的面积为 b2tan2.证明：M 在椭圆上，由椭圆的定义，得：|MF1|MF2|2a，两边平方，得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2.在F1MF2 中，由余弦定理，得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos|F1F2|24c2.由两式，得|MF1|MF2|b2cos22.故 SF1MF212|MF1|MF2|sin b2tan2.椭圆参数方程的综合应用 典例(本题满分 10 分)已知曲线 C1 的参数方程是x2cos，y3sin(为参数)，以坐标原点为极点，x
10、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2，3)(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标；(2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2 的取值范围解析(1)由已知可得 A2cos 3，2sin 3，B2cos32，2sin32，C2cos3，2sin3，D2cos332，2sin332，即 A(1，3)，B(3，1)，C(1，3)，D(3，1).5 分(2)设 P(2cos，3sin)，令 S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则 S16
11、cos236sin2163220sin2.9 分因为 0sin21，所以 S 的取值范围是32,52.10 分规律探究 由于椭圆上任一点的坐标可通过参数方程描述为参数的函数，所以可通过用参数方程设出椭圆上动点坐标的方法，解决求离心率、几何图形面积、目标函数最值及证明恒等式问题随堂训练1曲线xcos，y2sin(为参数)的长轴长为()A2 B4C6 D8解析：将曲线的参数方程化为普通方程，得 x2y241，它表示焦点在 y 轴上的椭圆，其长轴长为 4.答案：B2椭圆x3cos，y5sin(为参数)的两个焦点坐标是()A(0，3)，(0,3)B(0，4)，(0,4)C(4,0)，(4,0)D(3,0)，(3,0)解析：由椭圆x3cos，y5sin(为参数)可知 a5，b3，c a2b24，且焦点在 y 轴上，焦点坐标为(0，4)，(0,4)，所以选 B.答案：B3椭圆(x1)2y221 上离直线 xy20 最远和最近点到该直线的距离分别为()A.62，22B.6 22，22C.2 32，0 D.2 62，0解析：设椭圆上的点 P 的坐标为(1cos，2sin)，可求得 dmax 2 62，dmin0.另外本题还可利用相切的充要条件来解答答案：D课时作业
