1、数列不等式综合问题(一)【例1】已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证:; (2) 求证:【例2】在数列中,(1)求证:数列为等差数列,并求的通项;(2)若对任意的整数恒成立,求实数的取值范围;(3)设数列,的前项和为,求证:。【例3】对,不等式组所表示的平面区域为,内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列。(1)求、;(2)数列满足,且时,。证明:当时,; (3)在(2)的条件下,试比较与4的大小关系。基础大题自测(三)1、某校设计了一个实验学科的考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定:至少正确完成其中
2、2题的便可通过,已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成,考生乙每题正确完成的概率都是,且每题确完成与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望;(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力。2、某项选拔共有三轮考核,每轮设有一问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为且各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手被淘汰的概率;(2)该选手在选择中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望3、某项计算机考试按科目、科目依次进行,只有当科目成绩合格时,才可继续参加科目 的考试,已知
3、每个科目只允许有一次补考机会,两个科目均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目每次考试成绩合格的概率为,科目每次考试成绩合格的概率为,假设各次考试合格与否均互不影响。(1)求他不需要补考就可获得证书的概率;(2)在这次考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求随即变量的分布列和数学期望.函数导数综合问题(一)参考答案:【例1】解: (1)在条件中,令,得, 又由条件有,上述两式相减,注意到得 所以, 所以(2)因为,所以,所以;【例2】解: 2.(1)由得:又,数列是首项为1,公差为3的等差数列,即:(2)对任意的整数恒成立,即恒成立对任意的整数恒成立设,则当时,为递
4、增数列 所以的取值范围为:(3)由,得所以,【例3】解:(1)作出平面区域(略)(2分) 由解得:(4分)(2)当时, (5分) (6分)(3)由(2)得:当时,且,(7分) 当时,(8分) 当时, 综上述:基础大题自测(一)参考答案1、解:设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、 则的可能取值为1、2、3-1分,-4分考生甲正确完成题数的概率分布列为123-5分- 6分 又,其分布列为:,0、1、2、3-9分- 10分(2)-12分, -13分从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。-14分说明:只回答数学期望与方差以及结论,也给4分。2、解:记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为,则,该选手被淘汰的概率:(2)的可能值为,的分布列为123解法二:()记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为,则,该选手被淘汰的概率3、解:解:设该人参加科目A考试合格和补考为时间,参加科目B考试合格和补考合格为时间相互独立。(1)设该人不需要补考就可获得证书为事件C,则C= (2)的可能取值为2,3,4.则P P P 8分所以,随即变量的分布列为234P所以 12分