1、二 极坐标系第一课时 极坐标系的概念考 纲 定 位重 难 突 破1.理解极坐标系及其概念，会求点的极坐标.2.能建立极坐标系，由点的极坐标确定位置.重点：极坐标系的概念与点的极坐标的表示.难点：极坐标系中点与极坐标之间的对应关系.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理1平面内点的位置在平面直角坐标系中，点的位置用有序实数对确定，平面内的点的位置也可以用距离和角度确定2极坐标系如图所示，在平面内取一个O，叫做极点，自极点 O 引一条Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个(通常取弧度)及其正方向(通常取方向)，这样就建立了一个极坐标系定点射线角度单位逆时针3
2、极坐标设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的，记为；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的，记为.有序数对_叫做点 M 的极坐标，记为一般地，不作特殊说明时，我们认为 0，可取特别地，当点 M 在极点时，它的极坐标为，可以取极径极角(，)M(，)任意实数(0，)任意实数4点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与_表示同一个点特别地，极点 O 的坐标为(0，)(R)和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有种表示如果规定 0，那么除外，平面内的点可用的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是确定的无数(，2k)(kZ)0
3、2极点唯一唯一双基自测1极坐标系中，与点3，6 相同的点是()A.3，136 B.3，6C.3，176 D.3，56解析：因为极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，故选 A.答案：A2极坐标系中，集合(，)|1，R表示的图形是()A点B射线C直线D圆解析：由于 1，R 表示到极点距离等于 1 的点的集合，即以极点为圆心，半径为 1 的圆答案：D3极坐标系中，点 M1，2 与 N1，32 两点间的距离为()A1 B2C3 D4解析：M1，2，N1，32，O(0,0)三点共线，故|MN|MO|NO|112.答案：B探究一 由极坐标确定点的位置 例 1 在极坐标系中，画出点 A1，4，B2，
4、32，C3，4，D4，194 .解析 在极坐标系中先作出4线，再在4线上截取|OA|1，这样可得到点 A1，4.同样可作出点 B2，32，C3，4.由于194 34 4，故点 D4，194 可写成D4，34，如图位置怎样确定极坐标点的位置由极坐标确定点的位置，常常首先由 的值确定射线(方向)，再由 的值确定位置如果 的值不在0,2)范围内，先根据 02k(kZ)确定出 00,2)的值再确定方向1在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B3，4，C2，2，D3，74.解析：如图所示，A，B，C，D 四个点分别是唯一确定的探究二 求点的极坐标 例 2 已知点 Q(，)，分别按下列条件求出点 P
5、的极坐标(1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点；(2)点 P 是点 Q 关于直线 2的对称点解析(1)由于 P、Q 关于极点对称，得极径|OP|OQ|，极角相差(2k1)(kZ)所以，点 P 的极坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ)(2)由 P、Q 关于直线 2对称，得它们的极径|OP|OQ|，点 P 的极角 满足 2k(kZ)，所以点 P 的坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ)设点 M 的极坐标是(，)，则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(，)或(，)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(，)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(，)或(，)另外要注意，平面
6、上的点与这一点的极坐标不是一一对应的2设点 A2，3，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A 关于极轴，直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 0，)解析：如图所示，关于极轴的对称点为 B2，3.关于直线 l 的对称点为 C2，23.关于极点 O 的对称点为 D2，23.四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上探究三 极坐标系的实际应用 例 3 如图，以温州所在城市为极点，正东方向为极轴正方向，建立极坐标系，今有某台风中心在东偏南 60，距离极点800 千米处，假设当距离台风中心 700 千米时应当发布台风蓝色警报，已知福州所在城市的极坐标为200，43.(1)求台
7、风中心的极坐标；(2)福州是否已发布台风蓝色警报？解析(1)由题意知，台风中心距离极点 800 千米，极角取53，所以台风中心的一个极坐标为800，53.(2)福州所在城市的极坐标为200，43.由(1)得，福州距离台风中心的距离为d800220022200800cos3100 64416100 52700，所以该城市还未发布蓝色警报用极坐标求两点间的距离(1)用极坐标求两点间的距离，就是根据余弦定理解以极点 O 为顶点的三角形由于极坐标中有极角，则求三角形的内角就较为方便(2)两点 A、B 的极坐标分别为 A(1，1)，B(2，2)，则|AB|2122212cos21.3已知极坐标系的极点为
8、 O，点 M，N 的极坐标分别为 M2，6，N2，116，求MON 的重心 G 的极坐标(限定 0,02)解析：如图所示|OM|ON|2，xOM6，xON116，点 M、N 关于极轴对称，MON3，所以MON 为等边三角形设 MN 交极轴于 H，则|OH|OM|cos62 32 3，H(3，0)，由于MON 的重心 G 在中线 OH 上，且|OG|23|OH|2 33，G2 33，0 为所求极坐标的实际应用 典例(本题满分 12 分)某大学校园的部分平面示意图如图所示用点 O，A，B，C，D，E，F 分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标(
9、限定 0,02 且极点为(0,0)解析 以点 O 为极点，OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m)，建立极坐标系，如图所示 4 分由|OB|600 m，AOB30，OAB90，得|AB|300 m，|OA|300 3m，同样求得|OD|2|OF|300 2，8 分所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300 3，0)，B600，6，C300，2，D300 2，34，E(300，)，F150 2，34.12 分规律探究 在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在 0，0,2)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的随堂训练1下列各点中与极坐标5，7 表示同一个点的极坐标是()A.5，67 B.5，137C.5，67D.5，7解析：因为7137 2，故选 B.答案：B2若 120，12，则点 M1(1，1)与点 M2(2，2)的位置关系是()A关于极轴所在的直线对称B关于极点对称C关于过极点垂直于极轴的直线对称D重合解析：因为点(，)关于极点的对称点为(，)或(，)，故选 B.答案：B3已知 M5，56，N8，176，求|MN|.解析：|MN|2122212cos125282258cos56 1765282258cos43 5282587.课时作业
