1、阶段专题复习 第 三 章 请写出框图中数字处的内容:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 同一直线上的三点 dr 经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线 0dR-r R-rdR+r rl+r2 n r180考点1 垂径定理及其应用【知识点睛】1.垂径定理的基础是圆的对称性，它是计算线段的长度、证明线段相等的依据，同时也是证明弧相等的依据.2.应用垂径定理时，辅助线的作法：利用半径
2、、弦长的一半、弦心距构造直角三角形，结合勾股定理进行有关的计算与证明.【例1】(2012东营中考)某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图1)，若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，ADBC48 cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是_cm.【思路点拨】根据垂径定理找出以半径、弦的一半、弦心距为边 的三角形，结合勾股定理进行计算.【自主解答】AD垂直平分BC，ABC的外接圆圆心在AD上，如图，设圆心为O，连接BO.设OAOBr cm，由题意可知BDCD24 cm，ODADOA(48r)cm.在RtBOD中，BO2BD2OD2，r2242(48r)2，解得r30.
3、故圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是30 cm.答案：30【中考集训】1.(2012茂名中考)如图，AB是O的直径，ABCD于点E，若CD6，则DE()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选A.AB是O的直径，ABCD于点E.11DECD6 3.222.(2012哈尔滨中考)如图，O是ABC的外接圆，B=60,OPAC于点P，OP=23，则O的半径为()A.4 3B.6 3C.8D.12【解析】选A.因为B=60，所以AOC=120，又因为OPAC，所以AOPCOP60，所以OAP30，又因为 所以 即O的半径为 OP2 3,OA4 3，4 3.3.(2012广元中考)如图，A,B是O上两点，
4、若四边形ACBO是 菱形，O的半径为r，则点A与点B之间的距离为()A.2rB.3rC.rD.2r【解析】选B.四边形ACBO是菱形，OA=AC=CB=BO，O的半径为r，OA=AC=CB=BO=OC=r，AB与CO互相垂直平分，221AB2 r(r)3r.24.(2013绍兴中考)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶 到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为()A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m【解析】选D.连接OA，OD=CD-OC=8-5=3(m)，OA=5 m，在 RtODA中，由勾股定理得 由垂径定理 得AB=2AD=8 m.22ADOAOD4 m，
5、5.(2012贵港中考)如图，MN为O的直径，A,B是O上的两点，过A作ACMN于点C，过B作BDMN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6,则PA+PB的最小值是_.【解析】延长BD交O于点B，连接BA，过B向AC的延长 线作垂线，垂足为E,在RtABE中，AE=8+6=14，BE=8+6=14，所以 即PA+PB的最小值是 答案：AB14 2，14 2.14 2考点 2 圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【知识点睛】1.圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半，是计算角度的值和证明角之间的关系的依据.直径所对的圆周角等于90的性质，常常与直角三角形的勾股定理联系
6、.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.【例2】(2012大庆中考)如图ABC中，BC=3，以BC为直径的O交AC于点D，若D是AC中点，ABC=120.(1)求ACB的大小.(2)求点A到直线BC的距离.【思路点拨】(1)连接BD，由BC为直径可得BDAC，又由D为AC中点，得出AD=CD，根据“三线合一”可知BD为ABC的角平分线，即可求得ACB的度数.(2)过A点作AEBC，交CB的延长线于点E.在RtABE中，AE=ABsinABE.【自主解答】(1)如图，连接BD,由于BC是直径，则BDAC,因为D为AC中点
7、，所以AD=CD，所以AB=BC=3,又因为ABC=120，所以ACB=30.(2)过点A作AEBC交CB的延长线于点E，AE的长为A到直线BC的距离，又因为ABC=120，则ABE=60，所以在RtABE中，3 3AEABsin ABE.2【中考集训】1.(2012淮安中考)如图，AB是O的直径，点C在O上，若A=40，则B的度数为()A.80 B.60 C.50 D.40【解析】选C.因为AB是O的直径，所以C=90.因为A+B=90，所以B=90-A=90-40=50.2.(2012苏州中考)如图，已知BD是O的直径，点A,C在O 上，则BDC的度数是()A.20 B.25 C.30 D
8、.40【解析】选C.连接OC,因为 所以AOB=BOC，又因为AOB=60，所以BOC=60.所以 ABBCAOB60，ABBC，1BDCBOC30.23.(2012吉林中考)如图，A，B，C是O上的三点，CAO 25，BCO35，则AOB_ 【解析】OAOC，ACOCAO25，ACBACOBCO253560，AOB2ACB260120 答案：120 4.(2012六盘水中考)如图，已知OCB=20，则A=_.【解析】因为OC=OB,所以OBC=OCB=20.所以COB=180-20-20=140，所以 答案：70 1ACOB70.25.(2012新疆中考)如图,圆内接四边形ABDC,AB是O
9、的直径,ODBC于E.(1)请写出四个不同类型的正确结论.(2)若BE=4,AC=6,求DE.【解析】(1)不同类型的正确结论为：BE=CE,BED=90,BD=CD,ACB=90,ACOD,BOD是等腰三角 形,BOEBAC等.(2)AB是O的直径,OA=OB.ODBC,BE=CE.BDCD,OE为ABC的中位线.在RtOBE中,由勾股定理得 OD=OB=5,DE=OD-OE=5-3=2.11OEAC63.222222OBOEBE345,考点 3 直线和圆的位置关系及切线定理【知识点睛】1.三种判别方法：根据定义观察直线与圆公共点的个数；由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断；应用切线的判
10、定定理.2.两种证明思路：有公共点，则连公共点，证明垂直；没有公共点，则作垂直，证明垂线段长度与半径相等.切线的性质是求角的度数及垂直关系的重要依据，辅助线的作法一般是连接切点和圆心，构造垂直关系来证明或计算.【例3】(2012铜仁中考)如图，已知O的直径AB与弦CD相交 于点E，ABCD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.(1)求证：CD BF.(2)若O的半径为5，求线段AD的长.4cos BCD5，【思路点拨】(1)根据圆的切线的性质，得出BFAB，又由ABCD，得出CDBF.(2)根据在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，得BCD=BAD，在RtABD中应用三角函数求解即可.【自主
11、解答】(1)BF是O的切线，AB是O的直径，BFAB，CDAB，CDBF.(2)AB是O的直径，ADB=90.O的半径为5，AB=10.BAD=BCD，4ADcos BADcos BCD.5AB4AD108.5【中考集训】1.(2012无锡中考)已知O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2 则直线l与O的位置关系是()A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交【解析】选D.当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2，即dr，O与直线l相交.故直线l与O的位置关系是相切或相交.2.(2012茂名中考)如图，O与
12、直线l1相离，圆心O到直线l1 的距离 OA=4，将直线l1绕点A逆时针旋转30后得到 的直线l2刚好与O相切于点C，则OC=_.OB2 3，【解析】在RtAOB中，已知 OAB 60，将直线l1绕点A逆时针旋转30，BAC=30,OAC30.点C为切点，OCA90，AOC为直角三角形 在RtAOC中，OA=4，OAC30，OC2 答案：2 OB2 3OA4，2 33sin OAB.423.(2013天津中考)如图，PA，PB分别切O于点A，B，若P=70，则C的大小为_.【解析】连接OA，OB，如图，PA，PB是O的切线，OAP=90，OBP=90，在四边形AOBP中，AOB=360-90-
13、90-70=110.AOB=2C,C=55.答案：55 4.(2013泸州中考)如图，D为O上一点，点C在直径BA的延 长线上，且CDA=CBD.(1)求证：CD2=CACB.(2)求证：CD是O的切线.(3)过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12,求BE的长.2tan CDA3，【解析】(1)CDA=CBD，C=C,CADCDB,CD2=CACB.(2)连接OD，AB是O的直径，ADB=90,OB=OD,OBD=ODB,CDAC,BCCDOBD=CDA,CDA=ODB,ODC=ADB=90,CD是O的切线.(3)在RtABD中，由(1)得CADCDB,CD=8，设BE=x，则DE
14、=x，在RtBCE中，由勾股定理得x2+122=(x+8)2,解得x=5,即BE=5.22tan CDAtan CBD33，AD2tan CBD,BD3CDAD2,BCBD3考点 4 圆和圆的位置关系【知识点睛】判断两圆的位置关系的方法有两种：一是根据两圆公共点的个数来判断；二是根据圆心距d与R+r或Rr的大小关系进行判断.应用时关键是把握概念的内涵与外延，弄清相切与外切、内切及相离与外离、内含的关系，防止考虑不全造成漏解.两圆相交时辅助线的作法一般是连接两圆的公共弦，沟通两圆中的相关线段或角的关系.相切时，两圆的切点必定在两圆的连心线上.【例4】(2013黄石中考)如图，在边长为3的正方形A
15、BCD中，圆O1与圆O2外切，且圆O1分别与DA,DC边相切，圆O2分别与BA,BC边相切，则圆心距O1O2为_.【思路点拨】分别过O1,O2作正方形边的垂线，构造直角三角形，再根据等腰直角三角形，斜边与直角边的关系求解.【自主解答】分别过O1,O2作正方形边的垂线，交于点E，设 O1和O2的半径为R和r，圆心距为d，在RtEO1O2中，EO1=EO2=3-(R+r)=3-d，解得 答案：121O O2EOd2 3d，d63 2.63 2【中考集训】1.(2013邵阳中考)若O1和O2的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距d=7 cm,则这两圆的位置关系是()A.相交 B.内切 C.外切 D.
16、外离【解析】选C.由已知两圆半径求得半径之和为7 cm，等于两圆的圆心距，根据用数量关系判断两圆的位置关系知，这两个圆相外切.2.(2012淮安中考)如图，M与N外切，MN=10 cm，若M的半径为6 cm，则N的半径为_cm 【解析】设N的半径为r cm.因为M与N外切，所以MN=M的半径+r，而MN=10 cm，M的半径为6 cm，所以6+r=10，解得r=4.答案：4 3.(2013白银中考)已知O1与O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2,若这两个圆相切，则t=_.【解析】解方程得两圆的半径分别为3,1,当两圆外切时,t+2=3+1,解得t=2;当两圆内
17、切时,t+2=3-1,t=0.答案：2或0 4.(2012南京中考)如图，A，B是O上的两个定点，P是O上的动点(P不与A，B重合)，我们称APB是O上关于点A，B的滑动角.(1)已知APB是O上关于点A，B的滑动角，若AB是O的直径，则APB=_；若O的半径是1，求APB的度数.(2)已知O2 是O1 外一点，以O2 为圆心作一个圆与O1 相交 于A，B两点，APB是O1 上关于点A，B的滑动角，直线PA，PB分别交O2 于点M，N(点M与点A，点N与点B均不重合)，连 接AN,试探索APB与MAN，ANB之间的数量关系.AB2，【解析】(1)90 连接OA,OB,AB.O的半径是1，即OA
18、=OB=1,由勾股定理的逆定理可得 OAB为直角三角形,AOB=90,APB=45.22211(2),AB2,(2)当点P在优弧AB上时，如左图，APB=MAN-ANB；当点P在劣弧AB上时，如右图，APB=MAN+ANB.考点 5 与圆相关的运算【知识点睛】1.与圆相关的计算：弧长的计算、扇形面积的计算、圆锥的侧面积及全面积的计算，解答时要熟悉公式，计算准确.2.三种不规则图形的面积计算常采用的方法：“和差法”，即将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差；“割补法”，即通过分割或补形转化为求规则图形面积；“等积移动法”，即通过图形的等积变形，化不规则图形为规则图形.在应用时要根据具体情景，灵
19、活选用.【例5】(2012衡阳中考)如图，O的半径为6 cm，直线AB是O的切线，切点为点B，弦BCAO，若A30，则劣弧BC的长为_cm 【思路点拨】连接OB，OC，根据切线的性质求出BOC的大小，再求劣弧BC的长.【自主解答】AB是O的切线，ABBO A=30，AOB=60 BCAO，OBC=AOB=60 在等腰三角形OBC中，BOC=180-2OBC=180-260=60.劣弧BC的长为 答案：2 6062cm180【中考集训】1.(2013舟山中考)如图，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90
20、，则“蘑菇罐头”字样的长度为()77A.cmB.cmC.cmD.7 cm442【解析】选B.“蘑菇罐头”字样的长度即为90的圆心角所 对的弧长，即 79072cm.18042.(2013温州中考)在ABC中，C为锐角，分别以AB，AC为 直径作半圆，过点B，A，C作 如图所示，若AB=4，AC=2，则S3-S4的值是()2923115A.B.C.D.444412SS,4BAC，【解析】选D.(S1+S3)-(S2+S4)1324123412343SSSSSSSS,235SS,SS.4244又2214123()()22222，3.(2012绥化中考)小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所
21、示，它的底面半径OB3 cm，高OC4 cm，则这个圆锥形漏斗的侧面积是_cm2【解析】OC为圆锥的高，BOC为直角三角形，底面O的周长236(cm),圆锥侧面积S扇形 5615(cm2).答案：15 2222BCOBOC345 cm,124.(2012厦门中考)如图，已知ABC90，AB=r，半径为 r 的O从点A 出发，沿ABC方向滚动到 点 C时停止.请你根据题意，在图上画出圆心O 运动路径的示 意图并求出圆心O运动的路程rBC2，【解析】圆心O运动路径如图的虚线部分，圆心O运动的路程为 90 rrrABBCr2 r18022 5.(2012南昌中考)已知，纸片O的半径为2，如图1，沿弦
22、 AB折叠操作(1)折叠后的 所在圆的圆心为O，求OA的长度；如图2，当折叠后的 经过圆心O时，求 的长度；如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离.ABABAOB(2)在图1中，再将纸片O沿弦CD折叠操作 如图4，当ABCD，折叠后的 所在圆外切于点P时，设点O到弦AB，CD的距离之和为d，求d的值；如图5，当AB与CD不平行，折叠后的 所在圆外切于 点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点试探究四边形OMPN 的形状，并证明你的结论 ABCD与ABCD与【解析】(1)折叠后的 所在圆O与O是等圆，OA=OA=2.当折叠后的 经过圆心O时，折叠后的 所在圆的圆心O 在O上，如图2所
23、示，连接OA，OA，OB，OB，OO，OA=OA=OB=OB=OO=2，OOA和OOB为等边三角形，AOB=AOO+BOO=60+60=120，ABABAB12024AOB.1803的长度为如图3所示，连接OA，OB，过点O作OEAB于点E，OA=OB=AB=2，OAB是等边三角形，OE=OAsin 60 3232(2)如图4，当折叠后的 所在圆外切于点P时，过点O作EFAB于点H，交 于点E，交CD于点G，交 于点F，即点E，H，P，O，G，F在直线EF上 ABCD，EF垂直平分AB和CD，根据垂径定理和折叠，可知 又EF=4，点O到AB，CD的距离之和 ABCD与AEBCDF11PHPEPGPF22，111dPHPGPEPFPEPF2222；如图5，当AB与CD不平行时，四边形OMPN是平行四边形理由如下：设O，O为 所在圆的圆心，点O与点O关于直线AB对称，点O与点O关于直线CD对称，点M为OO的中点，点N为OO的中点 折叠后的 所在圆外切，APBCPD和APBCPD和连心线OO必过切点，折叠后的 所在圆与O是等圆，OP=OP=2，PMON，四边形OMPN是平行四边形【相关链接】分类讨论思想 分类讨论思想是一种重要的数学思想，分类讨论可以使解题过 程清晰明了，在分类时，要注意不重复、不遗漏，其关键是确 定分类标准.APBCPD和1PMOOON2，
