1、四川省成都市蓉城名校联盟2020届高三数学上学期第一次联考试题 理（含解析）一、选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得两个集合的并集.【详解】由，解得.由解得.所以.故选：D.【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数，则对应的点在复平面内位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.【详解】依题意，对应点为，在第一象限.故选：A.【点睛
2、】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.3.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，对结论进行否定.【详解】对于全称命题的否定是特称命题 ,对结论进行否定,即，,故选：D【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题.4.下列函数中，任取函数定义域内，满足，且在定义域内单调递减的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对四个选项逐一分析，结合以及函数定义域内单调递减确定正确选项.【详解】对于A选项，由于函数的定义域为，所以在定义域内不是单调递减函数，不符合题意. 正确的说法是在
3、和上递减.对于B选项，.的定义域为，且函数定义域内单调递减，符合题意.对于C选项，不符合题意.对于D选项，不符合题意.综上所述，B选项符合题意.故选：B.【点睛】本小题主要考查指数运算和对数运算，考查指数函数、对数函数和幂函数的单调性，属于基础题.5.若数列各项不相等的等差数列，且，成等比数列，则（ ）A. 18B. 28C. 44D. 49【答案】B【解析】【分析】根据等比中项列方程，将方程转换为只含的表达式后求得，由此求得的值.【详解】由于，成等比数列，所以，所以，即，依题意“数列各项不相等的等差数列”，所以，故由得，而，所以.所以.故选：B.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差
4、数列通项的基本量的计算，考查等差数列前项和的求法，属于基础题.6.函数的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用降次公式和辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数的对称轴，从而得出正确选项.【详解】依题意，由解得为函数的对称轴，令求得函数的一条对称轴为.故选：A.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查正弦型三角函数的对称轴的求法，属于基础题.7.在平面四边形中，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】利用含有角的直角三角形的性质求得，在三角形中用余弦定理求得.【详解】由于直角三角形中，所以，所以，
5、因为，所以.在三角形中，由余弦定理得.故选：A.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊的直角三角形的性质，属于基础题.8.函数在区间上的图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】令（），所以函数为奇函数，图像关于原点对称，由此排除A,D两个选项.当时，而为第二象限角，所以，而，所以，由此排除C选项.故B选项符合.故选：B.【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断函数的图像，属于基础题.9.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令,可得,进而
6、得到,画出,的图象,利用图象比较大小即可.【详解】令,则,且分别画出,的图象可得,即故选：B.【点睛】本题考查指对互化,考查指数函数图象,考查利用图象比较值的大小.10.若函数在区间上有2个极值点，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数求得函数的单调区间，结合函数在区间上有个极值点列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】.显然，当时，只有个极值点，不符合题意.只有C选项符合.构造函数.依题意在区间上有两个不同的零点，故，即，解得.故选：C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数零点分布问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中
7、档题.11.己知函数，若，且，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将分成，三种情况，结合，利用导数和基本不等式求得的取值范围.【详解】不妨设.当时，不合题意.当，由得（时，不符合，故），所以，构造函数，故当时，递减，当时，递增，故，故.当时，由得，所以.综上所述，的取值范围是.故选：A.【点睛】本小题主要考查方程与不等式，考查利用导数求取值范围，考查基本不等式的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.已知的内角，所对的边分别为，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理进行边角互化,得到,根据
8、余弦定理可得,再由面积公式得到,利用均值不等式可得,进而,即为关于的函数关系,从而解得周长的最小值.【详解】,（当且仅当时取等号）,，,设,单调递增,故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化,考查余弦定理的应用,考查均值不等式的应用,考查三角形中的最值问题.二、填空题13.“”是“”的_条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）.【答案】充分不必要【解析】【分析】求得两个一元一次不等式的解集，根据两者的包含关系填写出正确结论.【详解】不等式的解集为，不等式的解集为，由于，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.【点睛】本小题主要考查充分、必要条
9、件的判断，考查一元一次不等式的解法，属于基础题.14.若非零向量，满足，则_.【答案】【解析】【分析】对作平方,得到,将条件分别代入即可求解.【详解】由题, ,即,即或（舍）故答案为：【点睛】本题考查数量积的应用,考查求向量的模,考查运算能力.15.已知为数列的前项和，且，则_.【答案】853【解析】【分析】由与的关系可得,即,进而得到是以为首项,为公比的等比数列,可得,令,即可得到的值【详解】由题,即,则,是以为首项,为公比的等比数列,即当时,故答案为：853【点睛】本题考查等比数列通项公式,考查由与的关系求,根据,可构造数列为等比数列,公比为16.已知函数，且不等式在上恒成立，则实数的取值
10、范围为_.【答案】【解析】【分析】观察可得, ,即证恒成立,由于,可转换为证明在上单调递减,进而求得的取值范围.【详解】，又在上恒成立,即恒成立,设,则,即只需证在上单调递减,上恒成立,即在上恒成立,在上恒成立,故答案：【点睛】本题考查利用导数判断单调性,考查恒成立求参问题,考查数学转换的思想.三、解答题17.的内角，的对边分别为，,已知，.（1）求角的大小:（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根据求得，利用正弦定理求得，根据三角形大角对大边，求得角的大小.（2）求得的值，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求得的值，再由三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】（
11、1） 是的内角且又，又，（2）由（1）得，【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理以及三角形面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18.如图，在长方形中，点是的中点.将沿折起，使平面平面，连结、.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析】（1）由勾股定理得到,根据平面平面,可得到平面,进而证明平面平面；（2）作的中点,连结,可证得平面,过作直线;以、分别为为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,分别求出各点坐标,进而求得两平面的法向量,从而求得锐二面角的余弦值.【详解】（1
12、）证明：,连接,又平面平面,平面平面,平面又平面,平面平面（2）作的中点,连结,又平面平面,平面,过作直线,以、分别为为轴,轴,轴建立空间直角坐标系则,平面的法向量,又,设平面的法向量为,即平面的法向量平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查两平面垂直的证明,考查向量法求二面角,考查运算能力.19.某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下列联表：（1）根据列联表，能否有的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？（2）若已经从40岁以上的被调查者中用分层抽样的方式抽取了10名，现从这10名被调查者中随机选取3名，记这3名被选出的被调查者中对手机游戏很
13、有兴趣的人数为，求的分布列及数学期望.附：参考数据：【答案】（1）没有的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关；（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由与10.828的大小关系即可判断是否有的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关；（2）10人中有兴趣的有3人,则的可能值为0,1,2,3,根据超几何分布的概率公式求解即可,进而得到期望【详解】（1）没有的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关.（2）由题得40岁以上的被调查者中用分层抽样的方式抽取的10名人员中有3名对手机游戏很有兴趣,有7名无兴趣.的可能值为0,1,2,3, 的分布列为0123【点睛】本题考查计算,考查超几何分布及期望,考查运算
14、能力.20.已知定点，定直线的方程为，点是上的动点，过点与直线垂直的直线与线段的中垂线相交于点，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程:（2）点，点， 过点作直线与曲线相交于、两点，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及抛物线的定义，求得曲线的轨迹方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，通过计算，证得，从而证得.【详解】（1）由题知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，曲线的方程为.（2）设直线的方程为，由得， ，又，【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查根与系数关系的运用，考查运算
15、求解能力，属于中档题.21.已知函数，.（1）讨论函数的零点的个数；（2）当函数有两个零点时，证明：.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别讨论,时的单调性,进而判断零点个数；（2）由（1）可知时有两个零点, ,设,由,可得存在,则在上是减函数,在上是增函数,即为最小值,故证明即可.【详解】（1）由题,当时,在上是增函数又时,有一个零点当时,无零点当时在上是增函数又时,时,在上存在唯一零点在上是减函数,在上是增函数又时,时,当时,有两个零点当时,有一个零点当时,当时,在上无零点当时在上也无零点在上无零点综上：时有两个零点或时有一个零点时无零点（2）证明：由（1）知,令
16、,在上是增函数又,存在,使在上是减函数,在上是增函数又【点睛】本题考查零点的个数问题,考查利用导数判断单调性,求最值,考查分类讨论思想,考查推理求解能力,难度较大.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程;(2)若点、分别是与上的动点，求的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用消去参数，求得的普通方程，结合两角和的余弦公式化简，求得的直角坐标方程.（2）根据曲线的参数方程，得到点的坐标，根据点到直线距离公式，结合辅助角公式以及三角函数的性质，求得的最小值.【详解】
17、（1）由，求得的普通方程为.由化简得，所以的直角坐标方程为.（2）依题意可知，由点到直线的距离公式得：的最小值为【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用参数方程求直线和椭圆上的点的距离的最小值.属于中档题.23.设函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若在R上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）将不等式转化为，利用绝对值不等式得到，进而由求解出实数的取值范围.【详解】（1）当时由，当，；当，故；当，.综上所述，原不等式的解集为（2）当时等号成立.等价于得或的取值范围为【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
