1、热点一圆锥曲线中的定点、定值问题热点二圆锥曲线中的最值、范围问题热点三圆锥曲线中的探索性问题结束放映返回目录第2页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题(1)求解定点问题的关键是选用合理的参数建立直线系或者曲线系方程，由方程的恒成立找到定点坐标(2)定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量，常表现为求一些直线方程、数量积、比例关系等的定值解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量结束放映返回目录第3页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题【例 1】(13 分)(2015石家庄模拟)椭圆 C：x2a2y2b21
2、(ab0)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x1 上的动点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线 MN 经过一定点a2，b1，(1)解 依题意得 eca 32，(2 分)过右焦点 F 与长轴垂直的直线 xc 与椭圆x2a2y2b21，联立解得弦长为2b2a 1，所以椭圆 C 的方程为x24 y21.(4 分)结束放映返回目录第4页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题【例 1】(13 分)(2015石家庄模拟)椭圆 C：x2a2y2
3、b21(ab0)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x1 上的动点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线 MN 经过一定点即(4t29)x216t2x16t2360，(8分)(2)证明 设 P(1，t)，kPAt012t3，直线 lPA：yt3(x2)，(6 分)联立得yt3(x2)，x24 y21，可知2xM16t2364t29，所以 xM188t24t29，结束放映返回目录第5页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题【例 1】(13 分)(2015石家庄模
4、拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x1 上的动点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线 MN 经过一定点由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m，0)，则xM188t24t29，yM 12t4t29.同理得到xN8t224t21，yN4t4t21.(10 分)结束放映返回目录第6页 热点突破热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题【例 1】(13 分)(2015石家庄模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0
5、)的离心率为 32，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1.(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x1 上的动点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点为 N.求证：直线 MN 经过一定点又 kMQ12t4t29188t24t29 m，kNQ4t4t218t224t21m，令8m320，6m240，得 m4，kMQkNQ，所以化简得(8m32)t26m240，即直线MN经过定点(4，0)(13分)结束放映返回目录第7页 解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤：热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题第一步第二步第三步研究特殊情形，从问题的特殊情形出
6、发，得到目标关系所要探求的定点、定值探究一般情况探究一般情形下的目标结论 下结论，综合上面两种情况定结论热点突破结束放映返回目录第8页 热点突破(1)求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2)如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题结
7、束放映返回目录第9页【训练1】(2014江西卷)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值 证明(1)依题意可设直线AB的方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28，直线 AO 的方程为 yy1x1x；直线 BD 的方程为 xx2.因此D点在定直线y2(x
8、0)上解得交点 D 的坐标为x2，y1x2x1，注意到 x1x28 及 x214y1，热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题则有 yy1x1x2x21 8y14y1 2，热点突破结束放映返回目录第10页【训练1】(2014江西卷)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值(2)依题设知，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yax
9、b(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0，由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2、y2得N1、N2的坐标为 N1(2aa，2)，N2(2aa，2)，即|MN2|2|MN1|2为定值8.则|MN2|2|MN1|22aa242(2aa)28，热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题热点突破结束放映返回目录第11页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题 热点突破结束放映返回目录
10、第12页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题一审二审【例 2】(2014山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值由椭圆的离心率得出a，c的关系.结合yx被椭圆c截得的线段长确定a，b的值第(
11、1)题热点突破结束放映返回目录第13页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题一审二审【例 2】(2014山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值设出A，B，D三点坐标，进而确定出直线BD，AM
12、的斜率，代入表达式证明.先求含参数的OMN的面积的表达式，再应用基本不等式求最值.第(2)题热点突破结束放映返回目录第14页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题【例 2】(2014山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(1)求椭圆 C 的方程；椭圆C的方程可简化为x24y2a2.(1)解 由题意知 a2b2a 32，可得 a24b2.因此b1.将 yx 代入可得 x 5a5，因此 22 5a54 105，可得 a2.所以椭圆 C 的方程为x24 y21.热点突破结束放映返回目录第15页 热
13、点二 圆锥曲线中的最值、范围问题(2)证明 设A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)，因为直线 AB 的斜率 kABy1x1，设直线AD的方程为ykxm，由题意知k0，m0.又 ABAD，所以直线 AD 的斜率 kx1y1.由ykxm，x24 y21，可得(14k2)x28mkx4m240.【例 2】(2014山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D 在椭圆 C 上，且 ADA
14、B，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值热点突破结束放映返回目录第16页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题令y0，得x3x1，即M(3x1，0)所以 x1x2 8mk14k2，因此 y1y2k(x1x2)2m 2m14k2.由题意知 x1x2，所以 k1y1y2x1x2 14k y14x1.【例 2】(2014山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(2)过原点的
15、直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值所以直线 BD 的方程为 yy1 y14x1(xx1)可得 k2 y12x1.所以 k112k2，即 12.因此存在常数 12使得结论成立热点突破结束放映返回目录第17页 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题由知M(3x1，0)，解 直线 BD 的方程为 yy1 y14x1(xx1)，令 x0，得 y34y1，即 N0，34y1.可
16、得OMN 的面积 S123|x1|34|y1|98|x1|y1|.【例 2】(2014山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出 的值；求OMN 面积的最大值因为|x1|y1|x214 y211，当且仅当|x1|2|y1|22 时等号成立，此时
17、S 取得最大值98，所以OMN 面积的最大值为98.热点突破结束放映返回目录第18页 热点突破圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值 热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题结束放映返回目录第19页【训练 2】设点 P(x，y)到直线 x2 的距离与它到定点(1，0)的距离之比为 2，并记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(2，0)，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E，F
18、 两点，当线段 EF 的中点落在由四点 C1(1，0)，C2(1，0)，B1(0，1)，B2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 斜率的取值范围显然直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为yk(x2)设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段EF的中点为G(x0，y0)，解(1)由题意得|x2|(x1)2y2 2，热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题整理得x22 y21，所以曲线 C 的方程为x22 y21.(2)有点 M 满足(2)220221，则点 M 在曲线 C 外热点突破结束放映返回目录第20页【训练 2】设点 P(x，y)到直线 x2 的距离与它到定点(1
19、，0)的距离之比为 2，并记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(2，0)，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E，F 两点，当线段 EF 的中点落在由四点 C1(1，0)，C2(1，0)，B1(0，1)，B2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 斜率的取值范围得(12k2)x28k2x8k220.由(8k2)24(12k2)(8k22)0，由yk(x2)，x22 y21消去 y，热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题解得 22 k 22.由根与系数的关系得 x1x2 8k212k2，于是x0 x1x22 4k212k2，y0k(x02)2k12k2，
20、热点突破结束放映返回目录第21页【训练 2】设点 P(x，y)到直线 x2 的距离与它到定点(1，0)的距离之比为 2，并记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(2，0)，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E，F 两点，当线段 EF 的中点落在由四点 C1(1，0)，C2(1，0)，B1(0，1)，B2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 斜率的取值范围又直线C1B2和C1B1的方程分别为yx1，yx1，所以点G在正方形内(包括边界)的充要条件为 因为 x0 4k212k20，所以点 G 不可能在 y 轴的右边，热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题
21、y0 x01，y0 x01，即2k12k2 4k212k21，2k12k2 4k212k21，热点突破结束放映返回目录第22页【训练 2】设点 P(x，y)到直线 x2 的距离与它到定点(1，0)的距离之比为 2，并记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(2，0)，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E，F 两点，当线段 EF 的中点落在由四点 C1(1，0)，C2(1，0)，B1(0，1)，B2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线 l 斜率的取值范围亦即2k22k10，2k22k10.热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题由知，直线 l 斜率的取值范围是
22、 312，312.解得 312k 312，热点突破结束放映返回目录第23页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题做出反面回答 热点突破结束放映返回目录第24页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题解(1)设F1(c，0)，F2(c，0)，其中c2a2b2.【例 3】(12 分)(2014重庆卷)如图，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2
23、 的面积为 22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由由|F1F2|DF1|2 2，得|DF1|F1F2|2 2 22 c.从而 SDF1F212|DF1|F1F2|22 c2 22，故 c1.从而|DF1|22.(3 分)热点突破结束放映返回目录第25页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题【例 3】(12 分)(2014重庆卷)如图，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，|F
24、1F2|DF1|2 2，DF1F2 的面积为 22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由由 DF1F1F2，得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292，因此|DF2|3 22.所以 2a|DF1|DF2|2 2，故 a 2，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为x22 y21.(4 分)热点突破结束放映返回目录第26页(2)如图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22 y21 相交，所以F1P1(x11，y1)，F2P2(x1
25、1，y1)再由 F1P1F2P2，得(x11)2y210，由椭圆方程得，1x212(x11)2，即 3x214x10，解得 x143或 x10.(8 分)例3显示/隐藏P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.(6分)由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，当x10时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在当 x143时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C热点三 圆锥曲线中的探索性问题热点突破结束放映返回目录第27页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题
26、设 C(0，y0)，由 CP1F1P1，得y1y0 x1y1x111.而求得 y113，故 y053.(10 分)圆 C 的半径|CP1|432135324 23.x2y532329.(12 分)例3显示/隐藏综上，存在满足题设条件的圆，其方程为：热点突破结束放映返回目录第28页 热点突破第一步第二步第三步第四步求解圆锥曲线中的探索性问题的一般步骤 假设结论存在以存在为条件，进行推理求解明确规范表述结论若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设反思回顾查看关键点，易错点及解题规范热点三 圆锥曲线中的探索性问题结束放映返回目录第29页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题(1)探
27、索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 热点突破结束放映返回目录第30页 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于中 热点三 圆锥曲线中的探索性问题解(1)由已知条件，直线 l 的方程为 ykx 2，代入椭圆方程得x22(kx 2)21【训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k的直线 l 与椭圆x22 y21 有两
28、个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ 与AB 垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由整理得12k2 x22 2kx10.8k2412k2 4k220，解得 k 22 或 k 22.即 k 的取值范围为，2222，.热点突破结束放映返回目录第31页(2)不存在，理由如下：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，热点三 圆锥曲线中的探索性问题则OP OQ(x1x2，y1y2)由方程得，x1x2 4 2k12k2，【训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜
29、率为 k的直线 l 与椭圆x22 y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ 与AB 垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由y1y2k(x1x2)2 24 2k212k2 2 2.热点突破结束放映返回目录第32页 热点三 圆锥曲线中的探索性问题【训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k的直线 l 与椭圆x22 y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ 与AB 垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由(OP OQ)AB，AB(2，1)，(x1x2)(2)y1y20，即：4 2k12k2(2)4 2k212k22 20.解得：k 24，由(1)知 k212，与此相矛盾，所以不存在常数 k 使OP OQ 与AB 垂直.热点突破结束放映返回目录第33页（见教辅）
