1、全章素养整合构网络提素养链高考类型一 两个计数原理的综合应用题型特点 两个计数原理是学习排列、组合的基础高考中一般以选择题、填空题的形式出现难度中等方法归纳 解决计数问题的基本思想是先对问题进行分析，确定是利用分类计数原理还是分步计数原理当计数问题过于复杂或限制条件较多时，一般采取分类讨论的方法解决，即对计数问题中的各种情况进行分类(1)分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置根据题目特点恰当选择一个分类标准分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复(2)利用分步乘法计数原理应注意：要按事
2、件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事例 1 车间有 11 名工人，其中 5 名男工是钳工，4 名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工，4 名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？解析 设“既能当车工又能当钳工”的称为多面手，多面手有 2 人，完成这件事分三类第一类：多面手不从事钳工，有 C45C4675 种；第二类：有 1 名多面手从事钳工，有 C12C35C45100(种)；第三类：有 2 名多面手从事钳工，有 C22C25C4410(种)；因此共有 7510010185
3、 种选派方法例 2 如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数解析 可分两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，再分类考虑另外两顶点的染色方法，用分步计数原理得出结论由题设知，四棱锥 S-ABCD 的顶点 S、A、B 所染的颜色互不相同，它们共有 54360 种染色方法当 S、A、B 染好时，不妨设其颜色分别为 1、2、3.若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法；若 C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2种染法可见，当 S、A、B
4、 已染好时，C、D 还有 7 种染法故不同的染色方法总数有 607420 种跟踪训练 1.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银行卡若顾客甲没带银行卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有()A19 种 B26 种C7 种D12 种解析：由题意知，乙只能用现金，甲可以用现金、支付宝、微信若甲用现金，则不同的结账方式有 A236(种)；若甲用支付宝或微信，则不同的结账方式有 C12(C12C12C12C13)20(种)所以不同的结账方式共有 62026(种)故选 B.答案：B2由甲、乙、丙、
5、丁 4 名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少 1 人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有_种解析：分三类甲与另一人参加同一竞赛有 C12A3312(种)，乙与另一人参加同一竞赛有 C12A3312(种)，丙丁参加同一竞赛有 A336(种)，因此共有 1212630 种不同的参赛方案答案：30类型二 排列的综合应用题型特点 高考中考查排列问题往往是有一定限制条件的排列问题，即对某些元素或某些位置有特定要求，通常以选择题、填空题形式出现属于中、低档题方法归纳 解决排列问题的主要方法(1)特殊元素优先法对于有特殊要求的元素的排列问题，一般应对有特殊要求的
6、元素优先考虑(2)相邻问题捆绑法把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列(3)不相邻问题插空法某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间(4)定序问题消序法或逐一插空法定序问题可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列；另解也可以把定序的元素按照要求放置，再把余下的元素逐个插入其中(5)排列、组合混合先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列例 3 4 名男生和 5 名女生站成一排(1)甲不在中
7、间也不在两端的站法有多少种？(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？(4)男、女相间的站法有多少种？(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？解析(1)法一：(特殊优先)：先排甲有 6 种，再排其余有 A88种，共有站法 6A88241 920(种)法二(考虑位置)：先排中间和两端的位置有 A38种，再排其余位置有 A66种，共有站法 A38A66241 920(种)法三(排除法)：A993A88241 920(种)(2)(特殊优先)先排甲、乙有 A22种，再排其余有 A77种，共有 A22A7710 080(种)(3)(捆绑法)男、女分别
8、捆绑成两组有 A22种排法，男、女在本组内分别各有 A44及 A55种排法，故不同的站法数为 A22A44A555 760(种)(4)(插空法)先排 4 名男生有 A44种方法，再将 5 名女生插空，有 A55种方法，所以共有 A44A552 880 种站法(5)甲、乙、丙三人顺序一定的站法有法一：消序法A99A3360 480(种)法二：逐一插空法，先将甲、乙、丙按从左到右的顺序排好，然后将余下的 6 个元素逐一插空，有 C14C15C16C17C18C1960 480(种)跟踪训练 3.5 名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这 5 名同学不同坐法的种数为()A24 B
9、36C60 D72解析：有如图所示的 5 个座位，先安排甲：甲坐 1 或 5，有 2 种坐法，则乙有 3 种坐法，剩下的 3 名同学有 A336 种坐法，共有 23636 种坐法；甲坐 2 或 4，有 2种坐法，则乙有 2 种坐法，剩下的 3 名同学有 A336 种坐法，共有 22624 种坐法所以这 5 名同学坐成一排的不同坐法共有 362460(种)故选 C.12345 答案：C类型三 组合的综合应用题型特点 高考对组合题的考查往往涉及有条件限制的问题，即对某些特殊元素有特殊要求，通常以选择题、填空题的形式出现，有时与概率问题结合综合考查方法归纳 组合问题常有以下两类题型：(1)“含有”或
10、“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解例 4 在 2018 年全国数学竞赛中，某中学有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件下，分别有多少种不同的选法？(1)甲、乙、丙 3 人必须参加；(2)甲、乙、丙 3 人只能有 1 人参加；(3)甲、乙、丙 3 人至少有 1 人参加解析(1)甲、乙、丙 3 人必须参加，则只需从另外的 9 人中选 2 人，不同的选法共有C2936(种)(2)甲、乙、丙
11、3 人只能有 1 人参加，分两步：先从甲、乙、丙中选 1 人，有 C13种选法；再从另外的 9 人中选 4 人，有 C49种选法故不同的选法共有 C13C49378(种)(3)法一(直接法)分三类：第一类：甲、乙、丙中有 1 人参加，有 C13C49种选法；第二类：甲、乙、丙中有 2 人参加，有 C23C39种选法；第三类：甲、乙、丙 3 人均参加，有 C33C29种选法故不同的选法共有 C13C49C23C39C33C29666(种)法二(间接法)：从 12 人中任意选 5 人共有 C512种选法，甲、乙、丙 3 人均不参加，有 C59种选法，所以不同的选法共有 C512C59666(种)跟
12、踪训练 4.现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多 1 张，不同的取法种数为()A484 B472C252 D232解析：根据题意，共有 C316种取法，其中每一种卡片各取 3 张，有 4C34种取法，取 2 张绿色卡片有 C24C112种取法，故所求的取法共有 C3164C34C24C112472(种)答案：B类型四 分组分配问题题型特点 分组分配问题是排列组合的综合应用，高考中常以选择题、填空题的形式出现方法归纳(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组有三种类型：完全均匀分组，每组中元素个数均
13、相等部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n 组均匀，最后必须除以 n!完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列问题”，可以按要求逐个分配，也可以先分组后分配(3)解决分组分配问题的基本指导思想是先分组再分配例 5 首届中国国际进口博览会于 2018 年 11 月 5 日至 10 日在上海举行，将 5 名志愿者分配到 4 个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配 1 名志愿者的分配方案种数为_解析 将 5 人分成满足题意的 4 组有 C25种分法，分好的 4 组到 4 个不同的展馆参加接待工作有 A44种方案，所以共有 C25A44240 种方案答案 240跟踪训练 5.
14、我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为()A72 B108C180 D216解析：分两类：甲同学一人参加一个社团，将其余四名同学分成三组有C24C12C11A226 种分法此时有 6A13A33108 种甲同学与另一人参加一个社团，其余三人分别参加三个社团共有 C14C13A3372 种共有 10872180 种不同的参加方法答案：C类型五 二项式定理的应用题
15、型特点 求二项展开式的项或项的系数是高考的“热点”通常以选择题、填空题的形式出现，二项式定理的应用有时也在数列压轴题中出现，主要是利用二项式定理及不等式放缩法证明不等式求二项展开式各项系数的和是高频考点之一，通常以选择题、填空题的形式出现，以中档题为主方法归纳 1.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行求解，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出 r，代回通项公式即可2在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是公式 Tr1Crnanrbr(0rn，rN，nN*)的正确应用在应用时，要注意以下几点：(1)通项公式表示的是第 r1
16、项，而不是第 r 项(2)通项公式中 a 和 b 的位置不能颠倒；(3)展开式中第 r1 项的二项式系数 Crn与第 r1 项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错3二项式系数与项的系数是不同的两个概念，二项式系数是指 C0n，C1n，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，也与 a，b 的值有关，如(abx)n 的展开式中，第 k1 项的二项式系数是 Ckn，而项的系数是 Cknankbk.4形如(axb)n(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其
17、展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1 即可5一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为 a1a3a5f1f12.例 6(1)若(2x 3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2 的值为()A1 B0C1 D2(2)若(3x22x1)5a10 x10a9x9a8x8a1xa0(xC)，求(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2；a2a4a6a8a10.解
18、析(1)在(2x 3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4 中，令 x1，得(2 3)4a0a1a2a3a4；令 x1，得(2 3)4a0a1a2a3a4.两式相乘，得(2 3)4(2 3)4(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)所以(a0a2a4)2(a1a3)2(43)41.(2)令 x1，得 a0a1a1025；令 x1，得(a0a2a4a6a8a10)(a1a3a5a7a9)65.两式相乘，得(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)22565125.令 xi，得a10a9ia8a7ia6a5ia4a3ia2a1ia0(22i)525(1i)525(1i)22(
19、1i)128128i.整理得，(a10a8a6a4a2a0)(a9a7a5a3a1)i128128i，故a10a8a6a4a2a0128.因为 a01，所以a10a8a6a4a2127.答案(1)C(2)见解析跟踪训练 6.已知4 1x3 x2 n 的展开式中倒数第三项的系数为 45.(1)求含有 x3 的项；(2)求系数最大的项解析：(1)已知展开式中倒数第三项的系数为 45，则 Cn2n45，即 C2n45，得 n2n90，解得 n9(不合题意，舍去)或 n10.通项 Tk1Ck10(x14)10k(x23)kCk10 x10k42k3(0k10，kN)，令10k42k33，解得 k6.故
20、含有 x3的项是第七项，T7C610 x3210 x3.(2)4 1x3 x2 10 的展开式中共有 11 项，系数最大项是第六项，T6C510(x14)5(x23)5252x2512.1(2018高考浙江卷)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数解析：C25C24A44C25C13A331 260.答案：1 2602(2018高考全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析：法一：分两类：1 位女生入选有 C12C2412 种，2 位女生入选有 C22C144，共有 12416 种选法法二：C36C3420416(种)答案：163(2018高考浙江卷)二项式(3 x 12x)8 的展开式的常数项是_解析：该二项展开式的通项公式为 Tr1Cr8(12x)rCr8(12)r.令84r30，解得 r2，所以所求常数项为 C28(12)27.答案：7
