1、广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（潮州市2015届高三）曲线在点处的切线方程为 2、（揭阳市2015届高三）函数的图象与轴相交于点，则曲线在处的切线方程是 3、（深圳市2015届高三）设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 4、（珠海市2015届高三）已知函数的导函数为，且满足，则函数在点（2，）处的切线方程为 二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数，（）若，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间；若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围2、（佛山市2015届高三）已知函数.() 若,证明:函数是上的减函数；() 若曲
2、线在点处的切线与直线平行,求的值；() 若,证明:(其中是自然对数的底数).3、（广州市2015届高三）已知函数，R . （1）讨论函数的单调性; （2）若函数有两个极值点, 且, 求的取值范围; （3）在（2）的条件下, 证明:.4、（惠州市2015届高三）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为， （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）设，求函数的表达式； （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在个数使得不等式成立，求的最大值5、（江门市2015届高三）已知函数（是常数）设，、是函数的极值点，试证明曲线关于点对称；是否存在常数，使得，恒成立？若存在，求常数的值或取值
3、范围；若不存在，请说明理由（注：曲线关于点对称是指，对于曲线上任意一点，若点关于的对称点为，则在曲线上）6、（揭阳市2015届高三）若实数、满足，则称比更接近.（1）若比1更接近0，求的取值范围；（2）对任意两个正数、，试判断与哪一个更接近？并说明理由；（3）当且时，证明：比更接近.7、（清远市2015届高三）设函数.(1)若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）若是正实数，求使得关于的不等式在上恒成立的取值范围；证明：不等式.8、（汕头市2015届高三）已知函数，（1）求函数的定义域（用区间表示），（2）当时，求函数的单调递增区间。9、（汕尾市2015届高三）已知函数的极值点为和（1）当时，
4、求函数的增区间（2）当时，求函数在上的最大值。10、（韶关市2015届高三）已知函数， ，；（1）设，若在定义域内存在极值，求的取值范围；（2）设是的导函数，若，求证： .11、（深圳市2015届高三）已知定义在上的奇函数满足：当时，（1）求的解析式和值域；（2）设，其中常数试指出函数的零点个数；若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中证明：（）12、（珠海市2015届高三）已知函数(1) 求函数的单调区间；(2) 证明：时，参考答案一、填空题1、 2、 3、 4、二、解答题1、解：（1）的定义域为 1分当时， 2分由，解得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值
5、为；.4分（2），其定义域为 又.5分当，即时，在上，所以，函数在上单调递增.6分当，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；.7分综上所述：当时，的递减区间为；递增区间为 当时，只有递增区间为.8分（3）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得则函数在上的最小值小于零9分当，即时，由（2）可知在上单调递减故在上的最小值为，由，可得因为所以； 10分当，即时，由（2）可知在上单调递增故在上最小值为，由，可得（满足）；.11分当，即时，由（2）可知可得在上最小值为 因为，所以，即不满足题意，舍去.13分综上所述得，或实数的取值范围为.14分2、【解析】()当时,函数的定义域是,1
6、分对求导得,2分令,只需证:时,.又,3分故是上的减函数,所以5分所以,函数是上的减函数. 6分()由题意知,7分即,8分令,则,9分故是上的增函数,又,因此是的唯一零点,即方程有唯一实根,所以,10分说明利用两函数与图象求出(必须画出大致图象),同样给至10分.()因为,故原不等式等价于,11分由()知,当时,是上的减函数,12分故要证原不等式成立,只需证明:当时,令,则,是上的增函数,13分所以,即,故,即14分3、 (1)解: 函数的定义域为, , 1分 令, 得, 其判别式, 当,即时, , 此时,在上单调递增; 2分 当, 即时, 方程的两根为,3分 若, 则, 则时, , 时, ,
7、 此时, 在上单调递减, 在上单调递增; 4分 若,则, 则时, ,时, , 时, , 此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. 5分综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增; 当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增. 6分(2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,等价于方程在有两不等实根, 故. 7分(3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, . 8分 , 9分令, ,则, 10分由于, 则, 故在上单调递减. 11分故. 12分. 13分. 14分4、【解】（1）当时， -1分解得.-2分因为所以函数有单调递增
8、区间为-3分（2）设，两点的横坐标分别为、，所以切线的方程为：-4分所以切线过点，所以有即同理，由切线过点，得 -5分由（1）、（2），可得的两根， -7分-8分把式代入，得因此，函数的表达式为 -9分（3）易知在区间上为增函数，则恒成立，所以不等式恒成立，即恒成立，-12分，由于为正整数，. -13 分又当，存在任意的正整数满足条件因此，的最大值为6. -14分5、证明与求解：，1分解得，2分，即3分曲线上任意一点关于对称的点为4分直接计算知，点在曲线上，所以，曲线关于点对称5分（方法一）即，6分时，不等式恒成立7分；时，不等式等价于8分作，9分，解、得、10分0极大值12分，在的最大值为；
9、，在的最小值为13分综上所述，的取值范围为14分（方法二），时，不符合题意，解得，6分当时，在内的极值点为7分，当且仅当8分，即9分，解集为空集10分当在内的极值点为、11分，当且仅当12分，即13分，解集为，的取值范围为14分6、解：（1）依题意可得 -1分或的取值范围为-3分（2）解法一：-5分-6分即比更接近；-7分【解法二：对任意两个正数a、b，有，-4分 即-6分比更接近；-7分】（3）令则在区间上单调递减，且由得当时，在上单调递增，且当时，有-8分当时，0，比更接近.-10分当时，解法一：0，,-12分令则当时，在区间单调递减，当时，-13分综上可知，当时，即比更接近.-14分【解
10、法二：当时，0，-11分令，则令，解得， 不合舍去，-12分 当时，当时，在区间单调递增，在单调递减，又当时，-13分综上可知，当时，即比更接近.-14分】7、解：（1）由已知得：， 1分又函数在处有极值 ，即 2分 3分,当时，单调递增；当时，单调递减；4分（或者列表）函数的最大值为5分（2）由已知得：6分(i)若，则时， 在上为减函数，在上恒成立； 7分(ii)若，则时，在上为增函数， ，不能使在上恒成立；8分(iii)若，则时， 当时，在上为增函数，此时，不能使在上恒成立；9分综上所述，的取值范围是. 10分由以上得：, 11分取得： 12分令， 13分则，.因此. 14分8、解：（）由
11、题意可知：令，则原不等式可以化为：，解得：或即原不等式可以化为不等式 或 不等式1分对于不等式、分别有:与现做如下分类讨论：（1） 当时，此时不等式、对应的方程分别有不等根：与；与；不难证明： 所以不等式的解集为 2分所以不等式的解集为.3分所以当时，函数的定义域 .4分（2）当时，结合（1）可知：不等式的解集为分 .5分不等式的解集为所以当时，函数的定义域 .6分（3）当时，结合（1）可知：不等式的解集为；不等式的解集为所以当时，函数的定义域 .7分综上所述：（1）当时，函数的定义域（2）当时，函数的定义域（3）当时，函数的定义域 .8分（）由（）知道：当时，函数的定义域 .9分令（）,则函
12、数，显然函数在对应的定义域区间为单调递增函数，要求的单调递增区间，我们只需要求出函数在上的单调递增区间。10分现在求解如下：当时，由可得：不等式组 或不等式组.11分对于方程有：，当时，显然有，此时方程有两个不相等的实数根：或；显然， 所以不等式组（1）的解集为不等式组（2）的解集为 .12分结合（），不难得到：，又因为所以在上有不等式组（1）的解集为不等式组（2）的解集为 .13分所以函数的单调递增区间为与 .149、10、 11、解：（1）为奇函数，当时，则， 2分时， 的值域为 3分图a（2）函数的图象如图所示，当时，方程有三个实根；当或时，方程只有一个实根；当或时，方程有两个实根（法一
13、）：由，解得， 的值域为，只需研究函数在上的图象特征设，令，得，图b当时，当时，又，即，由，得，的大致图象如图所示根据图象可知，当时，直线与函数的图像仅有一个交点，则函数在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、上，根据图像，方程有两个交点，因此函数有两个零点 5分类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、这三个零点 6分当时，函数在上有两个零点，一个零点是，另一个零点在内，因此函数有三个零点 7分当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点 8分当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点 9分（法二）： ，令，得， ，当时，当时，当时，取得极大值 图c（）当的极大值，即时
14、，函数在区间上无零点，因此函数无零点 （）当的极大值，即时，函数的图像如图所示，函数有零点由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点图d（）当的极大值且，即时，在上单调递增，因为，函数的图像如图所示，函数在存在唯一零点，其中图e由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当的极大值且，即时：由，得，由，得，图f根据法一中的证明有 （）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点图g由图可知方程有三个不等的实根，因此函数有三个零点（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其
15、中由图可知方程有两个不等的实根，因此函数有两个零点 （）当时，图h函数的图像如图所示，函数在区间有两个零点，分别是和，其中由图可知方程有一个实根，方程 有两个非的不等实根，因此函数有三个零点 （）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有两个零点、，其中图i由图可知方程、都有两个不等的实根，且这四个根互不相等，因此函数有四个零点 综上可得： 当时，函数有两个零点；5分当、时，函数有三个零点； 7分 当时，函数有四个零点； 8分当时，函数无零点 9分因为是函数的一个零点，所以有， 10分记，当时， 当时，即故有，则 11分当时，；当时，（法一）：， 13分 综上，有， 14分（法二）：当时，；当时， 13分 综上，有， 14分【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识12、解：(1)1分时，当时；当时，故的减区间是，增区间是3分 时，当或时；当时故的减区间是，增区间是和5分时，故的增区间是7分时，当或时；当时故的减区间是，增区间是和8分(2)证明：当时，当且仅当时取等号，则10分当时，上不等式可变形为12分别令得13分时，14分
