1、三 简单曲线的极坐标方程考 纲 定 位重 难 突 破1.了解极坐标方程的意义.2.掌握几种常见的圆及直线的极坐标方程.3.掌握求曲线极坐标方程的方法，能够根据极坐标方程，解决有关的数学问题.重点：理解直线和圆的极坐标方程的推导和应用.难点：能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理1曲线的极坐标方程曲线 C 的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中，并且坐标适合方程都在曲线 C 上，那么方程 f(，)0 叫做曲线 C 的极坐标方程至少有一个方程 f(，)0f(，)0 的点2圆的极坐标方程(
2、1)圆心在 C(a,0)(a0)，半径为 a 的圆的极坐标方程为.(2)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为.(3)圆心在点a，2 处且过极点的圆的方程为(0)3直线的极坐标方程(1)若直线经过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则直线 l 的极坐标方程为：_(2)当直线 l 过极点，即 00 时，l 的方程为：.2acos r2asin sin()0sin(0)(3)当直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为：.(4)当直线 l 过点 Mb，2 且平行于极轴时，l 的方程为：.cos asin b双基自测1在极坐标系中，与点3，3 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是
3、()A.3，23 B.3，3C.3，43D.3，56解析：由题知3，3 相当于极轴绕极点顺时针旋转3，则点3，3 关于极轴所在直线对称的点相当于极轴绕极点逆时针旋转3，极径都是 3，故选 B.答案：B2圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为()A1 Bcos C2cos D2sin 解析：经过极点 O 且半径为 a 的圆的极坐标方程为 2acos，因圆心在(1,0)，所以半径为 1，所以极坐标方程为 2cos，故选 C.答案：C3过极点且倾斜角为3的直线的极坐标方程可以为()A23B3，0C43，0 D3和 43，0解析：直角坐标系中倾斜角为3的直线对应极坐标系中 3和 43，0 两条射线
4、，故选 D.答案：D4极坐标方程 2cos 表示的曲线所围成的面积为_解析：由 2cos 21cos 知，曲线表示圆，且圆的半径 r 为 1，所以面积 Sr2.答案：探究一 圆的极坐标方程 例 1 求圆心在 A2，32，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程解析 如图，设 M(，)为圆上除 O，B 外的任意一点，连接 OM，MB，则有|OB|4，|OM|，MOB32，BMO2，从而BOM 为直角三角形，所以有|OM|OB|cosMOB，即 4cos32 4sin.因为点 O(0,0)，B4，32 也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为 4sin.化为直角坐标方程为 x2y24y0.1
5、在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出 与 的函数关系，即为要求的极坐标方程2几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即 00 时，方程为 r220220cos，若再有 0r，则其方程为 20cos 2rcos，若 0r，00，则方程为 2rcos(0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置1在极坐标系中，求：(1)圆心在极点，半径为 2 的圆的极坐标方程；(2)圆心为 C(2，)，半径为 2 的圆的极坐标方程解析：(1)设所求圆上任意一点 M(，)，结合图(1)，得|OM|2，2,02.(2)设所求圆上任意一点 M(，)，结合图(
6、2)，在 RtOAM 中，OMA2，AOM，|OA|4.cosAOM|OM|OA|，|OM|OA|cosAOM，即 4cos()，故 4cos 为所求探究二 直线的极坐标方程 例 2 求下列直线的极坐标方程(1)过点 A2，4 且平行于极轴的直线 l；(2)过点 A3，3 且倾斜角为34 的直线 l.解析(1)如图所示，在直线 l 上取不同于点 A 的任意一点 M(，)，A2，4，|MH|2sin4 2，在 RtOMH 中，|MH|OM|sin，即 sin 2，经检验点 A 的坐标(2，4)适合上述方程，过 A2，4 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程为sin 2.(2)如图所示，在直线 l
7、 上取不同于点 A 的任意一点 M(，)，A(3，3)，|OA|3，AOB3，由已知MBx34，OAB34 3512，OAM512712.又OMAMBx34，在MOA 中，根据正弦定理得3sin34 sin712，又sin712sin43 2 64，将 sin(34)展开，化简上面的方程，可得(sin cos)3 32 32.经检验点 A 的坐标3，3 适合上述方程，过 A3，3 且倾斜角为34 的直线 l 的极坐标方程为(sin cos)3 32 32.求直线的极坐标方程常用的三角形法三角形法的解题步骤：首先根据题意作出图形，构造一个三角形，其中包括动点以及已知点，再利用三角形及三角函数的有
8、关知识列出等式，然后将等式坐标化，即用已知条件及动点的坐标(，)表达出来，化简、整理即可得到直线的极坐标方程2.如图所示，求过点 P(1，1)，且与极轴所成的角为 的直线 l的极坐标方程解析：如图，设点 M(，)为直线上除点 P 外的任意一点，连接 OM，则|OM|，xOM，由点 P 的极坐标知|OP|1，xOP1.设直线 l 与极轴交于点 A，则在MOP 中，OMP，OPM(1)，由正弦定理得sin11sin，即 sin()1sin(1)，显然点 P 的坐标也是它的解所以直线 l 的极坐标方程为 sin()1sin(1)探究三 直角坐标方程与极坐标方程的互化 例 3 把下列直角坐标方程与极坐
9、标方程进行互化：(1)x2(y2)24；(2)9(sin cos)；(3)2cos 3sin 5.解析(1)x2(y2)24，x2y24y，代入 xcos，ysin 得 24sin 0，即 4sin.(2)9(sin cos)，29(sin cos)，x2y29x9y，即x922y922812.(3)2cos 3sin 5，2x3y5.极坐标与直角坐标互化技巧(1)求极坐标或极坐标方程的问题，可以进行直角坐标与极坐标的互相转化进行解决(2)将 ysin，xcos 代入曲线的直角坐标方程，即得曲线的极坐标方程，值得注意的是，极坐标方程与直角坐标方程互相转化的前提是极坐标系的极点为直角坐标系的原点
10、，极轴为 x 轴的正半轴，且两种坐标系的单位长度相同3转化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状(1)cos 2；(2)2cos；(3)2cos 22；(4)11cos .解析：(1)cos 2，x2，曲线是过点(2,0)，垂直于 x 轴的直线(2)2cos，22cos，x2y22x0，即(x1)2y21，故曲线是圆心在(1,0)，半径为 1 的圆(3)2cos 22，2(cos2sin2)2，即 2cos22sin22，x2y22，故曲线是中心在原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲线(4)11cos，1cos，x2y21x，两边平方并整理得 y22x12，故曲线是顶点为12，0，焦
11、点为 F(0,0)，准线方程为 x1 的抛物线利用曲线的极坐标方程及极坐标的几何意义求弦长问题 典例(2015高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2的极坐标方程；(2)若直线 C3的极坐标方程为 4(R)，设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积解析(1)因为 xcos，ysin，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将 4代入 22cos 4sin 40，得23 240，解得 12 2，2 2.故 12
12、 2，即|MN|2.由于 C2 的半径为 1，所以C2MN 的面积为12.感悟提高(1)本题第(2)小题求解的关键是求出直线 4与圆 22cos 4sin 40 的弦长|MN|，此时 M1，4，N2，4，|MN|12|.(2)一般情况下，直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点时，先求出直线 l 和曲线 C 的极坐标方程，再联立方程组消去 得关于 的一元二次方程，然后利用极径的几何意义求出弦长|MN|12|.随堂训练1极坐标方程 4 表示的曲线是()A过(4,0)点，且垂直于极轴的直线B过(2,0)点，且垂直于极轴的直线C以(4,0)为圆心，半径为 4 的圆D以极点为圆心，半径为 4 的圆解析：由极坐标方程的定义可知，选 D.答案：D2极坐标方程 2sin 2(R)表示的图形是()A两条直线 B两条平行直线C一条直线D两条相交直线解析：由 2sin 2(R)得 sin 22，4(R)或 34(R)，故选 D.答案：D3已知直线的极坐标方程为 sin4 22，则极点到该直线的距离是_解析：直线的极坐标方程可化为 xy10，故极点到该直线的距离为 22.答案：224曲线 x2y22 x2y2的极坐标方程是_解析：x2y22，0，x2y2，x2y22 x2y2可化为 22，即(2)0.答案：(2)0课时作业
