1、热点突破热点突破高考导航 从近几年的高考看，对三角函数、解三角形、平面向量的考查仍然是重点和热点，该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题，在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化热点突破热点一 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数ysin x，ycos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解
2、析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为yAsin(x)的形式，然后利用整体代换的方法求解热点突破【例 1】(14 分)(2015济南名校联考)已知函数 f(x)sin x2 3cos2x2 1 3(0)的周期为.(1)求 f(x)的解析式并求其单调递增区间；(2)将 f(x)的图象先向下平移 1 个单位长度，再向左平移(0)个单位长度得到函数 h(x)的图象，若 h(x)为奇函数，求 的最小值热点突破解(1)f(x)sin x2 3cos2x2 1 3sin x2 31cos x21 3sin x 3cos x12sin(x3)1.(5 分)又函数 f(x)的
3、周期为，因此2，2.(6 分)故 f(x)2sin2x3 1.热点突破令 2k22x32k2(kZ)，得 k512xk 12(kZ)，即函数 f(x)的单调递增区间为k512，k 12(kZ)(9 分)(2)由题意可知 h(x)2sin2x3，又 h(x)为奇函数，则 23k，k2 6(kZ)0，当 k1 时，取最小值3.(14 分)热点突破构建模板 求三角函数单调递增区间的一般步骤第一步：将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式第二步：构造 f(x)a2b2(sin xaa2b2cos xba2b2)第三步：利用三角恒等变换转换表达式为f(x)a2b2sin(x)的形式第四步：令
4、x22k，22k(kZ)第五步：解得 x 的范围第六步：下结论热点突破探究提高 对于三角函数图象的平移变换问题，其规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量 x，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把 x 变换成 x，最后确定平移的单位，并根据的符号确定平移的方向热点突破【训练 1】设函数 f(x)32 3sin2xsin xcos x(0)，且 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求 的值；(2)求 f(x)在区间，32 上的最大值和最小值热点突破解(1)f(x)3
5、2 3sin2xsin xcos x 32 31cos 2x212sin 2x 32 cos 2x12sin 2xsin2x3.因为 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期 T44.又 0，所以22，因此 1.热点突破(2)由(1)知 f(x)sin2x3.设 t2x3，则函数 f(x)可转化为 ysin t.当 x32 时，53 t2x3 83，如图所示，作出函数 ysin t 在53，83上的图象，由图象可知，当 t53，83 时，sin t 32，1，热点突破故1sin t 32，因此1f(x)sin2x3 32.故 f(x)在区间，32 上的最大值和最小
6、值分别为 32，1.热点突破热点二 解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题热点突破【例 2】(2014辽宁卷)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ac.已知BABC2，cos B13，b3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值审题流程一审：如何转化BABC
7、2.二审：条件 cos B13，b3 的用途三审：向结论 a 和 c 的转化热点突破解(1)由BABC2，得 cacos B2.又 cos B13，所以 ac6.由余弦定理，得 a2c2b22accos B.又 b3，所以 a2c29261313.解ac6，a2c213 得 a2，c3 或 a3，c2.因为 ac，所以 a3，c2.热点突破(2)在ABC 中，sin B 1cos2B11322 23.由正弦定理，得 sin Ccbsin B232 23 4 29.因为 abc，所以 C 为锐角，因此 cos C1sin2C14 29279.于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsi
8、n C13792 23 4 29 2327.热点突破探究提高 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差角公式的灵活运用是解决此类问题的关键热点突破【训练 2】(2015江苏启东中学模拟)设函数 f(x)sin2x6 cos2x 3sin xcos x.(1)若|x|4，求函数 f(x)的值域；(2)设 A，B，C 为ABC 的三个内角，若 f A2 52，cos(AC)5 314，求 cos C 的值热点突破解(1)f(x)32 sin 2x12cos 2x1cos 2x2 32 sin 2x 3sin 2xcos 2x122s
9、in2x6 12.|x|4，32x623，32 sin2x6 1，12 3f(x)52，即 f(x)的值域为12 3，52.热点突破(2)由 f A2 52得 sinA6 1，又 A 为ABC 的内角，所以 A3.又因为在ABC 中，cos(AC)5 314，所以 sin(AC)1114，所以 cos CcosAC312cos(AC)32 sin(AC)3 314.热点突破热点三 三角函数、解三角形与平面向量的综合应用三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的
10、几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题热点突破【例 3】(2015南通模拟)已知向量 mcos x2，1，n3sin x2，cos2x2，设函数 f(x)mn1.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足a2b26abcos C，sin2C2sin Asin B，求 f(C)的值热点突破审题流程一审：mn 的运算二审：函数 f(x)的单调增区间的求解方法三审：条件：a2b26abcos C，sin2C2sin Asin B 的转化(正、余弦定理的应用)四审：如何求角 C.热点突破解(1)f(x)3sin x2cos x2
11、cos2x21 32 sin x12cos x12sinx6 12.令 2k2x62k2，2k3x2k23(kZ)，所以所求增区间为2k3，2k23(kZ)热点突破(2)由 a2b26abcos C，sin2C2sin Asin Bc22ab，cos Ca2b2c22ab6abcos C2ab2ab3cos C1，即 cos C12，又0C，C3，f(C)f 3 1.探究提高(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响热点突破【训练 3】(2015南京、盐城模拟
12、)已知向量 m(cos x，1)，n3sin x，12，函数 f(x)(mn)m.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，A 为锐角，a1，c 3，且 f(A)恰是函数 f(x)在0，2 上的最大值，求 A，b 和ABC 的面积热点突破解(1)f(x)(mn)mcos2x 3sin xcos x321cos 2x2 32 sin 2x3212cos 2x 32 sin 2x2sin2x6 2.因为 2，所以最小正周期 T22.热点突破(2)由(1)知 f(x)sin2x6 2，当 x0，2 时，62x676.由正弦函数图象可知，当 2x62时，f(x)取得最大值 3，又 A 为锐角，所以 2A62，A6.由余弦定理 a2b2c22bccos A得 1b232 3bcos6，所以 b1 或 b2，经检验均符合题意热点突破从而当 b1 时，ABC 的面积 S12 31sin6 34；当 b2 时，S12 32sin6 32.
