1、专题08 二次函数与实际应用（投球问题）一、单选题1（20212022福建厦门市九年级期中）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）A小球滑行12秒停止B小球滑行6秒停止C小球滑行6秒回到起点D小球滑行12秒回到起点【答案】B【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案【详解】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止故选：B【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键2（2020山西中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间
2、之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）ABCD【答案】C【分析】将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案【详解】解：依题意得：=，=，把=，=代入得当时，故小球达到的离地面的最大高度为：故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题3（20212022浙江瑞安市九年级开学考试）把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为，若存在两个不同的t的值
3、，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（ ）ABCD【答案】D【分析】将（0，1）代入求得函数解析式为，再由题意可得方程，由存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，故，即可求出相应的范围【详解】解：将（0，1）代入，得：，解得：，令，则可得方程，存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，方程有两个不相等的实根，整理得：，解得：，又，的取值范围为：，故选：D【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题4（2021浙江三门峡市九年级期中） 2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协
4、作、顽强拼搏的女排精神如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ） A BCD【答案】A【分析】由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入得关于a、
5、b、c的三元一次方程组，解得a、b、c的值，则函数解析式可得，从而问题得解【详解】解：由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，排球经过A、B、C三点，解得： ，排球运动路线的函数解析式为，故选：A【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式并求得关系式，数形结合并明确二次函数的一般式是解题的关键二、填空题5（2020广西贺州中考真题）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点
6、水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为_米【答案】10【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y=0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可【详解】解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点，点，代入，得：，解得，当时，解得，（不符合题意，舍去）该学生推铅球的成绩为10m故答案为：10【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键6（2021辽宁连山九年级月考）如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一
7、条经过A、M、C三点的抛物线其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为_米【答案】14【分析】设抛物线的解析式为，将点代入求出的值即可得到解析式，求出时的值即可得【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，将点代入，得：，解得：，则抛物线的解析式为；当时，解得：（舍，所以足球第一次落地点距守门员14米，故答案是：14【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及将实际问题转化为二次函数问题的能力7（2021浙江台州中考真题）以初速度v（单位：m/s）
8、从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是hvt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）若h12h2，则t1：t2_【答案】【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，结合h12h2，即可求解【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：hv1t4.9t2，令h=0，或（舍去），图2中的函数解析式为：hv2t4.9t2， 或（舍去
9、），h12h2，=2，即：=或=-（舍去），t1：t2=：=，故答案是：【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像和性质，二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键8（20212022浙江温州市实验中学九年级月考）小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成ABC135，其中AB10cm，BCcm刚开始时，OA140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移_cm 【答案】60【分析】过点C作
10、延长线于点E，先求出BE的长，再以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，得出A、C、D的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线向上平移k个单位，再把坐标代入解析式求出k的值即可【详解】解：过点C作延长线于点E，cm以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，则设此时抛物线解析式为：代入点得， 整理得， 解得设小刚应把升降器向上平移kcm，即将抛物线向上平移k个单位，则抛物线解析式为：将代入解析式得，即小刚应把升降器向上平移60cm故答案为：60【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据实际情况建立直
11、角坐标系，用待定系数法求解析式三、解答题9（20212022北京海淀九年级期中）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况他以水平方向为轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处小明某次试投时的数据如图所示（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10m，成绩为优秀请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀【答案】（1）见解析；（2）；（3）达到优秀【分析】（1）根据题意可
12、直接画出图象；（2）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可；（3）当y=0时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解【详解】解：（1）如图所示（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2），设该抛物线的表达式为，由抛物线过点A，有，解得，该抛物线的表达式为；（3）解：令，得，解得，（C在x正半轴，故舍去）， 点C的坐标为（，0）， ，由，可得， 小明此次试投的成绩达到优秀【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式10（20212022安徽九年级月考）任意球是足球比赛的主要得分手段之一在某次足球比赛中，小明站在点O处
13、罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-12)2+h小明罚任意球时防守队员站在小明正前方9m处组成人墙，防守队员的身高为2.1m，对手球门与小明的水平距离为18m，已知足球球门的高是2.43m（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门）（1）当h=3时，求y与x的关系式（2）当h=3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由（3）若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，直接写h的取值范围【答案】（1）y= -(x-12)2+3；（2）足球能直接射进球门，不会踢飞，见解析；（3）2.24h2.1，足球能越过人墙，当x=18时y=-
14、(18-12)2+3=2.252.1；由足球能直接射进球门，得036a+h2.1，解得h2.24；把代入得036+h2.43，解得0h3.24，h的取值范围是2.24h3.24【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法、不等式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用利用不等式解决实际问题11（2020浙江绍兴中考真题）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m即BA2.88m这时水平距离OB7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面
15、直角坐标系，如图2（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x9和x18时，对应函数的值即可求解；（2）当y0时，y（x7）2+2.880，解得：x19或5（舍去5），求出PQ68.4，即可求解【详解】（
16、1）设抛物线的表达式为：ya（x7）2+2.88，将x0，y1.9代入上式并解得：a，故抛物线的表达式为：y（x7）2+2.88；当x9时，y（x7）2+2.882.82.24，当x18时，y（x7）2+2.880.640，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在RtOPQ中，OQ18117，当y0时，y（x7）2+2.880，解得：x19或5（舍去5），OP19，而OQ17，故PQ68.4，98.40.50.1，发球点O在底线上且距右边线0.1米处.【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次
17、函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.12（2020浙江嘉兴中考真题）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B（1）求该抛物线的函数表达式（2）当球运动到点C时被东东抢到，CDx轴于点D，CD2.6m求OD的长东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h12（t0.5）2+2.7（0t1）
18、；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）【答案】（1）y2（x0.4）2+3.32；（2）1m；能，【分析】（1）设ya（x0.4）2+3.32（a0），将A（0，3）代入求解即可得出答案；（2）把y2.6代入y2（x0.4）2+3.32，解方程求出x，即可得出OD1m；东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MDh1，NFh2，当点
19、M，N，E三点共线时，过点E作EGMD于点G，交NF于点H，过点N作NPMD于点P，证明MPNNEH，得出，则NH5MP分不同情况：（）当0t0.3时，（）当0.3t0.65时，（）当0.65t1时，分别求出t的范围可得出答案【详解】解：（1）设ya（x0.4）2+3.32（a0），把x0，y3代入，解得a2，抛物线的函数表达式为y2（x0.4）2+3.32（2）把y2.6代入y2（x0.4）2+3.32，化简得（x0.4）20.36，解得x10.2（舍去），x21，OD1m东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E由图1可得，当0t0.3时，h22.2当0.3t1.3时，h22（t0.8）2+2
20、.7当h1h20时，t0.65，东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MDh1，NFh2，当点M，N，E三点共线时，过点E作EGMD于点G，交NF于点H，过点N作NPMD于点P，MDNF，PNEG，MHEN，MNPNEH，MPNNEH，PN0.5，HE2.5，NH5MP（）当0t0.3时，MP2（t0.5）2+2.72.22（t0.5）2+0.5，NH2.21.30.952（t0.5）2+0.50.9，整理得（t0.5）20.16，解得（舍去），当0t0.3时，MP随t的增大而增大，（）当0.3t0.65时，MPMDNF2（t0.5）2+2.72（t0.8）2+2.71.2t+
21、0.78，NHNFHF2（t0.8）2+2.71.32（t0.8）2+1.4，2（t0.8）2+1.45（1.2t+0.78），整理得t24.6t+1.890，解得，（舍去），当0.3t0.65时，MP随t的增大而减小，（）当0.65t1时，h1h2，不可能给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及能将实际问题转化为二次函数问题求解13（20212022山东嘉祥九年级期中）年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳台滑雪训练场的横截而
22、示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？【答案】（1）；（2）12【分析】（1）根据题意可知抛物线过点(0，4)和(4，8)，将两点坐标代入解析式，即可求出b和c的值，即得到抛物线解析式（2）设当运动员运动的水平距离为a米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，
23、根据题意及可列出关于a的等式，解出a即可【详解】（1）由题意某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，可知：A(0，4)，且该点在抛物线上当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，可知：该点坐标为 (4，8) ，且该点在抛物线上，解得：，抛物线解析式为：（2）设当运动员运动的水平距离为a米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：，整理得：，解得：(不合题意，舍)，故当运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米【点睛】本题考查二次函数的实际应用掌握利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的基本性质，能将实际问题和二次函数模型相结合是解答本题的关键14（2
24、0212022广东东莞九年级月考）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m（1）当a=时，求h的值；通过计算判断此球能否过网（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值【答案】（1）h=；球能过网；（2）a=【分析】（1）将点代入即可求得；求出时，的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将、代入代入即可求得、【详解】解：（1）当时，将点代入，
25、得：，解得：；把代入，得：，此球能过网；（2）把、代入，得：，解得：，【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键15（2021安徽庐阳九年级期末）任意球是足球比赛的主要得分手段之一在某次足球赛中，甲球员站在点O处发出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式，已知防守队员组成的人墙与O点的水平距离为9m，防守队员跃起后的高度为2.1m，对方球门与O点的水平距离为18m，球门高是2.43m（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门）（1）当h3时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当h3时，
26、足球能否越过人墙？足球会不会踢飞（球从球门的上方飞过）？请说明理由（3）若甲球员发出的任意球直接射进对方球门得分，求h的取值范围【答案】（1）y与x的关系式；（2）足球能越过人墙，足球不会踢飞，理由见解析；（3）2.24h3.24【分析】（1）当h3时，根据函数图象过原点，求出a的值即可；（2）当h3时，由（1）中解析式，分别把x9和x18代入函数解析式求出y的值与2.1和2.43比较即可；（3）由抛物线过原点得到144a+h0，由足球能越过人墙，得9a+h2.1，由足球能直接射进球门，得036a+h2.43，然后解组成的不等式组即可【详解】解：（1）当h3时，抛物线经过点（0，0），0a（0
27、12）2+3，解得：，y与x的关系式；（2）当h3时，足球能越过人墙，足球不会踢飞，理由如下：当h3时，由（1）得，当x9时，足球能过人墙，当x18时，足球不会踢飞；（3）由题设知，函数图象过点，得，即144a+h0，足球能越过人墙，即时，9a+h2.1，足球能直接射进球门，当时，得036a+h2.43，由得，把代入得，解得h2.24，把代入得02.43，解得0h3.24，h的取值范围是2.24h3.24【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数解决实际问题是解题关键16（2021福建省福州延安中学九年级月考）如图所示，一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，已知球
28、出手时离地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米（1）请根据图中所给的平面直角坐标系，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；（2）问此篮球能否投中？（3）此时，若对方队员乙上前盖帽，已知乙最大摸高3.19米，他如何做才有可能获得成功？（说明在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分）【答案】（1）；（2）一定能投中，见解析；（3）只能距甲身前1.3米以内盖帽才能成功【分析】（1）先求出点A、O、B的坐标，再根据待定系数法，即可求解；
29、（2）把点B的坐标代入，看看是否满足函数解析式，即可；（3）先求出最大摸高点的纵坐标，代入二次函数解析式，求出对应的横坐标，即可得到结论【详解】解：（1）在平面直角坐标系中，球出手点、最高点和篮圈坐标分别为：、，设函数式为， 代入A点坐标得：，解得：，二次函数解析式为：；（2）把代入得，即点在抛物线上，所以一定能投中；（3）将，代入，解得或（舍），所以只能距甲身前1.3米以内盖帽才能成功【点睛】本题主要考查二元一次方程的实际应用，掌握待定系数法，函数图像上点的坐标特征，是解题的关键17（2021浙江浙江九年级期末）已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离
30、地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）（1）求该抛物线的表达式；（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围【答案】（1）；（2）10.2米；（3）【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当y=2.44时x的值，再检验即得答案；（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离即可
31、【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标是，设抛物线的解析式是：，把代入得，解得，则抛物线是；（2）球门高为2.44米，即，则有，解得：，从题干图2中，发现球门在右边，即足球运动的水平距离是10.2米；（3）不后退时，刚好击中横梁，往后退，则球可以进入球门，而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，当时，有，解得：，取正值，后退的距离需小于米故【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键18（2021江苏盐城市初级中学九年级期中）小明为了能在4月份的体育加试中取得好成绩，每天进行掷实心球训练：当投掷实心球时会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，研究表明：当
32、这两个速度相等时，投掷距离最远实心球在投掷的过程中的高度y与实心球出手后的时间t满足：y5t2bt2，水平距离xat，a是出手后实心球水平向前的速度，b为出手后竖直向上的速度（1）当时，写出x与t的函数表达式为 ，y与t的函数表达式为 ；结合所给的平面直角坐标系，求出y与x的函数表达式及此时投掷距离 （2）当ab时，点O为投掷点，实心球落在圆心角为45的AOB区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点O的距离为学生的投掷距离，已知落地点P在AOB区域内且到边界的距离PMm，PN6m，求出小明投掷的距离及实心球在此次投掷中的最高高度【答案】（1），；，8m；（2）投掷距离为10m，2.006m【分析】（1）根据题意直接代入数值即可，将中的两式联立即可求出表达式，当时即可求出投掷距离；（2）先求出投掷距离，确定此时的表达式，求最值即可【详解】解：（1）当时，故答案为，；，联立可得，故与的函数表达式为，当时得方程，解得或（舍去），故投掷距离为8m；（2）作于，于，四边形为矩形，即，又，又，即投掷距离为10m，当时，解得，当时达到最高高度，此时，故此次投掷中的最高高度为2.006m【点睛】此题考查与斜抛运动相关的数学知识，利用二次函数求最值是本题的解题关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
