1、2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知等差数列an中，a5=13，S5=35，则公差d=（）A2B1C1D32已知a，b，cR，则下列推证中正确的是（）Aabam2bm2BCD3已知直线l1：（k3）x+（4k）y+1=0与l2：2（k3）x2y+3=0平行，则k的值是（）A1或3B1或5C3或5D1或24设m，n是不同的直线，、是三个不同的平面，有以下四个命题：若m，n，则mn；若=m，=n，mn则；若，m，则m若，则其中正确命题的序号是（）ABCD5若直线
2、l1：y=k（x4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A（0，4）B（0，2）C（2，4）D（4，2）6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）ABCD7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）AB160C64+32D608若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）ABC2D29已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的半径为（）ABCD10如图所示，正方体
3、ABCDA1B1C1D1的棱长为1，BDAC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（）ABCD111已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）ABC1D212正四棱锥PABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥AB1CD1，PABCD的体积之比是（）A1：4B3：8C1：2D2：3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为14已知x0，y0，且2x+8yxy=0，则x+y的最小值为15已知数列an是首项
4、为4，公差为3的等差数列，数列bn满足bn（an+an+1）=1，则数列bn的前32项的和为16已知E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程18已知f（x）=（1）若f（x）k的解集为x|x3或x2，求k的值；（2）若对任意x0，f（x）t恒成立，求实数
5、t的取值范围19如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=（1）求证：AD平面BCE；（2）求证：AD平面CEF；（3）求三棱锥ACFD的体积20某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，
6、y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润21如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，BAC=90，AB=AC=2，M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点（）求证：平面APM平面BB1C1C；（）若P为线段BB1的中点，求证：A1N平面APM；（）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由22已知数列an满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an1（n2，nN+）（）设bn=an+1+an（nN+），求证bn
7、是等比数列；（）（i）求数列an的通项公式；（ii）求证：对于任意nN+都有+成立2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知等差数列an中，a5=13，S5=35，则公差d=（）A2B1C1D3【考点】等差数列的前n项和【分析】直接由已知列式求得等差数列的公差【解答】解：在等差数列an中，由a5=13，S5=35，得，解得故选：D2已知a，b，cR，则下列推证中正确的是（）Aabam2bm2BCD【考点】不等关系与不等式【分析】根据不等式两边同乘
8、以0、负数判断出A、B不对，再由不等式两边同乘以正数不等号方向不变判断C对、D不对【解答】解：A、当m=0时，有am2=bm2，故A不对；B、当c0时，有ab，故B不对；C、a3b3，ab0，不等式两边同乘以（ab）3的倒数，得到，故C正确；D、a2b2，ab0，不等式两边同乘以（ab）2的倒数，得到，故D不对故选C3已知直线l1：（k3）x+（4k）y+1=0与l2：2（k3）x2y+3=0平行，则k的值是（）A1或3B1或5C3或5D1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】当k3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k30时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k
9、的值【解答】解：由两直线平行得，当k3=0时，两直线的方程分别为 y=1 和 y=，显然两直线平行当k30时，由=，可得 k=5综上，k的值是 3或5，故选 C4设m，n是不同的直线，、是三个不同的平面，有以下四个命题：若m，n，则mn；若=m，=n，mn则；若，m，则m若，则其中正确命题的序号是（）ABCD【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明【解答】解：由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确设三棱柱的三个侧面分别为，其中两条侧棱为m，n，显然mn，但与不平行，故错误，当m时，m，故正确当三个平面，两两垂直时，显然结论不成立，
10、故错误故选：A5若直线l1：y=k（x4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A（0，4）B（0，2）C（2，4）D（4，2）【考点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】先找出直线l1恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称点（0，2）在直线l2上，可得直线l2恒过定点【解答】解：由于直线l1：y=k（x4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y=k（x4）与直线l2关于点（2，1）对称，直线l2恒过定点（0，2）故选B6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1
11、D所成角的正弦值为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）=（2，0，1），=（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量cos，=BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）AB160C64+32D60【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的
12、三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，即可得出结论【解答】解：由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为84=4，故V直三棱柱=84=32，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故，故该几何体的体积，故选A8若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同
13、一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）ABC2D2【考点】两点间的距离公式【分析】联立，解得交点（1，2），代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出【解答】解：联立，解得x=1，y=2把（1，2）代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0m=52n点（m，n）到原点的距离d=，当n=0，m=5时，取等号点（m，n）到原点的距离的最小值为故选：A9已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的半径为（）ABCD【考点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算【分析】通过球的内
14、接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径【解答】解：因为三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：故选C10如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，BDAC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（）ABCD1【考点】棱柱的结构特征【分析】根据正方体的结构特征，可证，N在B1D1上，过
15、N作NGA1B1，交A1B1于G，设NG=x，利用勾股定理构造关于x的函数，求函数的最小值【解答】解：平面ACD1平面BDD1B1，又MN平面ACD1，MN平面BDD1B1，NB1D1过N作NGA1B1，交A1B1于G，将平面A1B1C1D1展开，如图：设NG=x，（0x1），AN=，当x=时最小故选B11已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）ABC1D2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移先确定z的最优解，然后确定a的值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：，z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距的最
16、大值，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x3）得，a=；故选：B12正四棱锥PABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥AB1CD1，PABCD的体积之比是（）A1：4B3：8C1：2D2：3【考点】简单组合体的结构特征；棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】如图，棱锥AB1CD1，的体积可以看成正四棱锥PABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，利用底面与高之间的关系得出棱锥B1ABC，的体积和棱锥D1ACD，的体积都是正四棱锥PABCD的体积的，棱锥CPB1D1，的体积与棱锥APB1D1的体积之和是正四棱锥PABCD的体积的，则中间剩下
17、的棱锥AB1CD1的体积=正四棱锥PABCD的体积3个正四棱锥PABCD的体积，最终得到则两个棱锥AB1CD1，PABCD的体积之比【解答】解：如图，棱锥AB1CD1的体积可以看成是正四棱锥PABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，B1为PB的中点，D1为PD的中点，棱锥B1ABC，的体积和棱锥D1ACD的体积都是正四棱锥PABCD的体积的，棱锥CPB1D1，的体积与棱锥APB1D1的体积之和是正四棱锥PABCD的体积的，则中间剩下的棱锥AB1CD1的体积V=正四棱锥PABCD的体积3个正四棱锥PABCD的体积=个正四棱锥PABCD的体积，则两个棱锥AB1CD1，PABCD的体积之比是1
18、：4故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：rl，过轴的截面面积为：rh，圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，l=2h，设母线与轴的夹角为，则cos=，故=，故答案为：14已知x0，y0，且2x+8yxy=0，则x+y的最小值为18【考点】基本不等式
19、【分析】首先分析题目已知x0，y0，且2x+8yxy=0，求x+y的最小值等式2x+8yxy=0变形为+=1，则x+y=（x+y）（+） 根据基本不等式即可得到答案【解答】解：已知x0，y0，且2x+8yxy=02x+8y=xy即： +=1利用基本不等式：则x+y=（x+y）（+）=+108+10=18，当且仅当x=2y时成立则x+y的最小值为18故答案为1815已知数列an是首项为4，公差为3的等差数列，数列bn满足bn（an+an+1）=1，则数列bn的前32项的和为【考点】数列的求和【分析】通过等差数列an的首项和公差可知an=3n+1，利用平方差公式、裂项可知bn=（），进而并项相加即
20、得结论【解答】解：数列an是首项为4、公差为3的等差数列，an=4+3（n1）=3n+1，bn（an+an+1）=1，bn=（），数列bn的前n项和为（+）=（）=（），故所求值为（）=，故答案为：16已知E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于【考点】二面角的平面角及求法；用空间向量求平面间的夹角【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BPAS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的
21、二面角的正切值【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BPAS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RTPBE中，tanEPB=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH
22、所在直线方程为x2y5=0求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程【考点】直线的一般式方程【分析】（1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出【解答】解：（1）设C（m，n），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0，解得C（4，3）（2）设B（a，b），则，解得B（1，3）kBC=直线BC的方程为y3=（x4），化为6x5y9=018已知f（x）=（1）若f（x）k的解集为x|x3或x2，求k的值；（2）若对任意x0，f（x）t恒成立，求实数t的取值范围【考点】其
23、他不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）根据题意，把f（x）k化为kx22x+6k0，由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值；（2）化简f（x），利用基本不等式，求出f（x）t时t的取值范围【解答】解：（1）f（x）k，k；整理得kx22x+6k0，不等式的解集为x|x3或x2，方程kx22x+6k=0的两根是3，2；由根与系数的关系知，3+（2）=，即k=；（2）x0，f（x）=，当且仅当x=时取等号；又f（x）t对任意x0恒成立，t，即t的取值范围是，+）19如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径A
24、B折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=（1）求证：AD平面BCE；（2）求证：AD平面CEF；（3）求三棱锥ACFD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）依题ADBD，CEAD，由此能证明AD平面BCE（2）由已知得BE=2，BD=3从而ADEF，由此能证明AD平面CEF（3）由VACFD=VCAFD，利用等积法能求出三棱锥ACFD的体积【解答】（1）证明：依题ADBD，CE平面ABD，CEAD，BDCE=E，AD平面BCE（2）证明：RtBCE中，CE=，BC=，BE=2，RtABD中，AB=2，AD=，BD=3ADEF
25、，AD在平面CEF外，AD平面CEF（3）解：由（2）知ADEF，ADED，且ED=BDBE=1，F到AD的距离等于E到AD的距离为1SFAD=CE平面ABD，VACFD=VCAFD=20某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并
26、画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润【考点】简单线性规划的应用【分析】（1）根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域；（2）令利润z=2x+3y，则y=，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最优解【解答】解：（1）x，y满足的条件关系式为：作出平面区域如图所示：（2）设利润为z万元，则z=2x+3yy=x+当直线y=x+经过点B时，截距最大，即z最大解方程组得B（20，24）z的最大值为220+324=112答：当生产甲种肥料20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元21如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，BAC=90，AB=A
27、C=2，M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点（）求证：平面APM平面BB1C1C；（）若P为线段BB1的中点，求证：A1N平面APM；（）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（）由已知推导出AMBC，BB1底面ABC，BB1AM，从而AM平面BB1C1C，由此能证明平面APM平面BB1C1C（）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C，则四边形A1AMD为平行四边形，从而A1DAM，进而A1D平面APM；进一步推导出DNB1C，MPB1C，则DNMP，从而DN平面
28、APM，进而平面A1DN平面APM，由此能证明A1N平面APM（）假设BC1与平面APM垂直，则BC1PM设PB=x，推导出，从而得到直线BC1与平面APM不能垂直【解答】（本小题满分14分）证明：（）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AMBC又因为BB1AA1，且AA1底面ABC，所以BB1底面ABC因为AM底面ABC，所以BB1AM，又BB1BC=B，所以AM平面BB1C1C又因为AM平面APM，所以平面APM平面BB1C1C （）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DMA1A，且DM=A1A则四边形A1AMD为平行四边形，所以A
29、1DAM又A1D平面APM，AM平面APM，所以A1D平面APM由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DNB1C又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MPB1C则DNMP又DN平面APM，MP平面APM，所以DN平面APM由于A1DDN=D，所以平面A1DN平面APM由于A1N平面A1DN，所以A1N平面APM10分解：（）假设BC1与平面APM垂直，由PM平面APM，则BC1PM设PB=x，当BC1PM时，BPM=B1C1B，所以RtB1C1B，所以由已知，所以，得由于，因此直线BC1与平面APM不能垂直 22已知数列an满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an1（n2，n
30、N+）（）设bn=an+1+an（nN+），求证bn是等比数列；（）（i）求数列an的通项公式；（ii）求证：对于任意nN+都有+成立【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式【分析】（）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列（）（i）根据（）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式（ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明【解答】证明：（）已知数列an满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an1（n2，nN+）则：an+1+an=3（an+an1）即：，所以：，数列bn是等比数列（）（i）由于数列bn是等比数列则：，整理得：所以：则：是以（）为首项，1为公比的等比数列所以：求得：（ii）由于：，所以：，则：（1）当n为奇数时，当n为偶数时，所以： =+，所以：nk时，对任意的k都有恒成立2016年8月12日
