1、5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式 第五章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式(重点)2会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等(重点)3熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法(难点)1借助公式的推导过程，培养数学运算素养2通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，它用
2、类比介绍了这一引领信息时代的创新发明我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新类比于上节我们学习的两角差的余弦公式，你能得出两角和与差的正弦、余弦公式吗？知识点1 两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()_，R两角和的余弦公式C()cos()_，Rcos cos sin sin cos cos sin sin 如何由 C()推导出 C()?提示 用“”代 C()中的“”便可，注意诱导公式“cos()cos”的应用B 原式cos(573)cos 6012.1.cos 57cos 3sin 57sin 3的值为()A0 B12
3、C 32 Dcos 54知识点 2 两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦公式S()sin()_，R两角差的正弦公式S()sin()_，Rsin cos cos sin sin cos cos sin 2.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得 sin()sin sin 成立()(3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()答案(1)(2)(3)(4)210 cos 35，是第三象限的角，sin 1cos245，sin4
4、22 sin 22 cos 22 45 22 35 210.3.若 cos 35，是第三象限的角，则 sin4_.合作探究释疑难 NO.2类型1 给角求值问题 类型2 给值求值问题 类型3 给值求角问题 类型 1 给角求值问题【例 1】(1)cos 70sin 50cos 200sin 40的值为()A 32 B12 C12 D 32(2)若 是第二象限角且 sin 513，则 cos(60)_.(3)求值：(tan 10 3)cos 10sin 50.(1)D(2)125 326(1)cos 200cos(18020)cos 20sin 70，sin 40cos 50，原式cos 70sin
5、 50(sin 70)cos 50sin(5070)sin 120 32.(2)是第二象限角且 sin 513，cos 1sin21213，cos(60)12cos 32 sin 121213 32 513125 326.(3)解 原式(tan 10tan 60)cos 10sin 50sin 10cos 10sin 60cos 60cos 10sin 50sin50cos 10cos 60cos 10sin 502.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特
6、殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求跟进训练1化简求值：(1)sin 50sin 20cos 30cos 20；(2)sin(75)cos(45)3cos(15)解(1)原式sin2030sin 20cos 30cos 20sin 20cos 30cos 20sin 30sin 20cos 30cos 20cos 20sin 30cos 20sin 3012.(2)设 15，则原式sin(60)cos(30)3cos 12sin 32
7、 cos 32 cos 12sin 3cos 0.类型 2 给值求值问题【例 2】(1)已知 P，Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点 P 的横坐标为45，点 Q 的横坐标为513，则 cosPOQ_.(2)已知 cos 55，sin()1010，且，0，2，求 cos(2)的值(1)5665 由题意可得，cosxOP45，所以 sinxOP35.再根据 cosxOQ 513，可得 sinxOQ1213，所以 cosPOQcos(xOPxOQ)cosxOPcosxOQsinxOPsinxOQ45 513351213 5665.(2)解 因为，0，2，所以
8、 2，2，又 sin()1010 0，所以 02，所以 sin 1cos22 55，cos()1sin23 1010，cos(2)cos()cos cos()sin sin()55 3 1010 2 55 1010 210.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角跟进训练2已知锐角，满足 cos 2 55，sin()35，求 sin 的值解 因为，是锐角，
9、即 02，02，所以22，因为 sin()350，所以 cos()45，因为 cos 2 55，所以 sin 55，所以 sin sin()sin cos()cos sin()55452 55 352 55.类型 3 给值求角问题【例 3】已知 sin 55，sin 1010，且 和 均为钝角，求 的值能否求得 的取值范围？依据 的范围如何选择公式求三角函数值？解 因为 和 均为钝角，所以 cos 1sin22 55，cos 1sin23 1010.由 和 均为钝角，得 2，所以 cos()coscos sinsin 2 553 1010 55 1010 22.所以 74.已知三角函数值求角的
10、方法已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为0，2，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是2，2，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，)，选余弦函数比正弦函数好跟进训练3若 sin 17，cos 3 314，且 2，0，0，2，求 的值解 因为 2，0，0，2，且 sin 17，cos 3 314，所以 cos 4 37，sin 1314，因此 sin()sin cos cos sin 173 314 4 37 1314 32，又因为 2，0，0，2，所以 2，2，故 3.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 D
11、原式sin(2181)sin 60 32，故选 D.1化简：sin 21cos 81cos 21sin 81等于()A12 B12 C 32 D 321 2 3 4 5 D sin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60 22 12 22 32 2 64.故选 D.2sin 105的值为()A 3 22B 212C 6 24D 2 641 2 3 4 5 D 2cos x 6sin x2 212cos x 32 sin x2 2cos3cos xsin3sin x 2 2cos3x.3化简 2cos x 6sin x 等于()A2 2sin6xB2 2cos6
12、xC2 2sin3xD2 2cos3x1 2 3 4 5 5 31226 因为 cos 513，2，所以 sin 1cos21 51321213，所以 cos6 cos cos 6sin sin 6 513 32 1213125 31226.4若 cos 513，2，则 cos6 _.5 1 2 3 4 cos cos cos()sin sin()cos()cos.5cos cos()sin sin()_.回顾本节知识，自我完成以下问题：1公式 C()、C()、S()、S()间存在怎样的联系？提示 2根据三角函数值求角时，一般的步骤是什么？提示 根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若(0，)，则通常求 cos，若2，2，则通常求 sin，否则容易导致增解点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
