1、第一章 预备知识第三节 不等式3.2基本不等式 教学设计本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。一 教学目标：1通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2借助基本不等式解决简单的最值问题，二. 核心素养1. 数学抽象：根据实际例子，抽象概括“和定
2、积最大，积定和最小” 2. 逻辑推理：本节内容进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3. 数学运算：利用基本不等式求最值4. 直观想象：结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；5. 数学建模：基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。难点：1、基本不等式成
3、立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。重点：应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。PPT1. 知识引入对于任意实数x和y，（x一y)2 0总是成立的,即x2 -2xy+y20,所以,当且仅当x=y时，等号成立若a0,b0,取，则：当且仅当a=b时，等号成立这个不等式称为基本不等式，其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数，因此，基本不等式也称为均值不等式。 结论：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值1. 基本不等式的几何解释如图1-14,AB是半圆O的直径，点C在AB上，且
4、AC=a,CB = b.过点C作AB的垂线交于点D。，连接AD，OD，BD.显然OD=OA= ；利用三角形相似,可证得，从而， 从图中可以看出ODCD,当且仅当点C与圆心0重合时，等号成立，即“半径大于或等于半 弦”.利用基本不等式或类似上述几何图形，还可以推出一些其他的简单不等式.例 4已知 a0，b0，c0，求证: 证明 因为a0 , b0，c0，所以由基本不等式得 三式相加，得 即：把一段长为16 cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表1-3,并思考当矩形的长、 宽分别为何值时，面积最大.表1 - 3方案长/cm宽/cm面积/cm?方案1方案2方案3设矩形的长为xcm,宽为y cm,则
5、x+y = 8.此时，由基本不等式得，即xy16.又因为当x=y = 4时,xy = 16（即不等式xy16中的等号成立）， 由此可知,边长为4 cm的正方形的面积最大.思考交流类比上面的方法，说明：面积为16 cm2的所有不同形状的矩形中，边长为4 cm的正 方形的周长最小.重点结论：当x,y均为正数时,下面的命题均成立：（1） 若x+y = s（s为定值）则当且仅当x=y时,xy取得最大值（2）若xy=p(p为定值）则当且仅当x=y时,x+y取得最小值例5：已知x,y均为整数，试证明：若x+y=s(s为定值)，则当且仅当x=y,时，xy取得最大值证明： 由基本不等式 和x十y=s,得所以又
6、因为当x=y=时,不等式中的等号成立，所以此时xy取得最大值例6如图1-16,动物园要围成四间相同面积的长方形禽 舍,一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计）（1）现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各 设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？（2）若使每间禽舍面积为24 m2则每间禽舍的长、宽各设计 为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？解（1）设每间禽舍的长为xm,宽为y m,则 设S=xy,0x9.0y6,应用基本不等式，有 , 即： 当且仅当2x=3y时，不等式中等号成立，此时2x=3y, 2x+3y= 18,x=4 5, y=3因此,当每间禽舍的长、宽
7、分别设计为4.5 m和3 m时，可使每间禽舍面积最大,最大面 积为 13. 5 m2.重点题型（1）利用基本不等式求求最值1下列函数中，最小值是2的是（）Ay By Cy7x+7x Dyx2（x0）答案：C2下列命题中正确的是（）A若a，bR，则 B若x0，则C若x0，则 D若xR，则答案：D（2）和定积最大，和定积最小的考查1.若mn1，其中m0，则m+3n的最小值等于（）A B2CD答案：C2已知x0，y0，且x+2y2，则xy（）A有最大值为1 B有最小值为1 C有最大值为 D有最小值为答案：C（3）“1”的代换运用1若对任意的正数a，b满足a+3b10，则的最小值为（）A6 B8C12D24答案：C2若ab0，1，则a+b的最小值是_7_一个不等式：若，则有，当且仅当a=b时，。两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”