1、第二章 随机变量及其分布 阶段综合提升 第2课 离散型随机变量的分布列、期望与方差 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 条件概率与相互独立事件的概率【例 1】小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为 0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率思路点拨(1)这三列火车之间是否正点到达互不影响，因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题，注意两列正点到达所包含的情况(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达，这
2、种情况比正面列举简单些，因此利用对立事件的概率公式求解解 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，所以 P(A)0.2，P(B)0.3，P(C)0.1.(1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P1P(ABC)P(A BC)P(AB C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P21P(A B C)1P(A)P(B)P(C)10.20.30.10.994.1(改变
3、问法)本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率 P3P(A B C)P(AB C)P(A BC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.解 恰有一列火车正点到达的概率2(变换条件，改变问法)若一列火车正点到达计 5 分，用 表示三列火车的总得分，求 P(10)解 事件“10”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以 P(10)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)10.80.70.90.496.1条件概率的求法(1)利用定义，分别求出 P(A)和 P(AB)，解得P
4、ABPA.(2)借助古典概型公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)nABnA.2求解相互独立事件同时发生的概率时，要注意以下几个问题：(1)若事件 A 与 B 相互独立，则事件A与 B，A 与B，A与B分别相互独立，且有 P(AB)P(A)P(B)，P(AB)P(A)P(B)，P(A B)P(A)P(B)(2)若事件 A1，A2，An 相互独立，则有 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)跟进训练1有 20 件产品，其中 5 件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取 2 件，求：(1
5、)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率解 记第一次抽到次品为事件 A，第二次抽到次品为事件 B.(1)第一次抽到次品的概率为 P(A)52014.(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为 P(AB)P(A)P(B)119.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为 P(B|A)11914 419.独立重复试验与二项分布【例 2】甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中 3 人答对的概率分别为23，23，12，且各人答
6、对与否相互之间没有影响用 表示甲队的总得分(1)求随机变量 的分布列；(2)设 C 表示事件“甲队得 2 分，乙队得 1 分”，求 P(C)思路点拨(1)由于甲队中每人答对的概率均为23，因此每人回答一个问题可以看成 3 次独立重复试验，可用二项分布求分布列；(2)用独立事件的概率公式求概率 解(1)由题意知，的可能取值为 0,1,2,3，P(0)C031233 127，P(1)C1323123229，P(2)C23232123 49，P(3)C33233 827，故 的分布列为 01 23 P1272949827(2)甲队得 2 分，乙队得 1 分，两事件相互独立，由(1)得，甲队得 2 分
7、的概率 P(2)49，乙队得 1 分的概率 P231312132312131312 518.根据独立事件概率公式得，“甲队得 2 分，乙队得 1 分”的概率P(C)49 5181081.1判断一个随机变量是否服从二项分布的关键(1)对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一(2)重复性，即试验独立重复地进行了 n 次(3)随机变量是事件发生的次数 2二项分布实际应用问题的解题思路(1)根据题意设出随机变量(2)分析出随机变量服从二项分布(3)找到参数 n(试验的次数)和 p(事件发生的概率)(4)写出二项分布的分布列跟进训练2甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为 p，乙获胜的概率为 1
8、p，采用了“3 局 2 胜制”(这里指最多比赛 3 局，先胜 2局者为胜，比赛结束)若仅比赛 2 局就结束的概率为1325.(1)求 p 的值；(2)若采用“5 局 3 胜制”(这里指最多比赛 5 局，先胜 3 局者为胜，比赛结束)，求比赛局数 X 的分布列和数学期望解(1)仅比赛 2 局就结束，即为甲连胜 2 局或乙连胜 2 局，所以 pp(1p)(1p)1325，即 25p225p60，解得 p35或 p25.(2)当 p35时，即甲胜的概率为35，乙胜的概率为 13525.X 的可能取值为 3,4,5.P(X3)353253 35125，P(X4)C233522535C232523525
9、234625，P(X5)C2435225235C2425235225216625，所以 X 的分布列为 X345 P35125234625216625 所以 E(X)3 35125423462552166252 541625 4.当 p25时，结论与 p35相同.离散型随机变量的期望与方差 【例 3】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；
10、如果最高气温低于20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？解(1)由题意知，X 所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知 P(X200)21690 0.2，P(X300
11、)36900.4，P(X500)2574900.4.因此 X 的分布列为 X 200 300 500 P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200瓶，因此只需考虑 200n500.当 300n500 时，若最高气温不低于 25，则 Y6n4n2n；若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(n300)4n12002n；若最高气温低于 20，则 Y62002(n200)4n8002n.因此 E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当 200n300 时，若最高气温不低于 20，则 Y6n4n2n；若最高气温
12、低于 20，则 Y62002(n200)4n8002n.因此 E(Y)2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以 n300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元求离散型随机变量的期望与方差的步骤跟进训练3一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有 1,2,2,3,3,3 六个数字)(1)设随机变量 表示一次掷得的点数和，求 的分布列(2)若连续投掷 10 次，设随机变量 表示一次掷得的点数和大于5 的次数，求 E()，D()解(1)由已知，随机变量 的取值为：2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为 0，则 P(01)16，P(02)13，P(03)12，即 P(2)1616 136，P(3)2161319，P(4)216121313 518，P(5)2131213.P(6)121214.所以 的分布列为：2345 6 P136195181314(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6，设其发生的概率为 p，由(1)知，p14，因为随机变量 B10，14，所以 E()np101452，D()np(1p)101434158.Thank you for watching!
