1、5.1 任意角和弧度制 5.1.2 弧度制 第五章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系2理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数(重点、难点)3了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系(易错点)1.通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养2借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养.情境导学探新知 NO.1如图是一种折叠扇折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？知识点 1 角度制与弧度制(1
2、)度量角的两种制度定义用_作为单位来度量角的单位制角度制1 度的角1 度的角等于周角的_定义以_作为单位来度量角的单位制弧度制1 弧度的角长度等于_的圆弧所对的圆心角度弧度1360半径长(2)弧度数的计算比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？提示 一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关(3)角度制与弧度制的换算1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)1 弧度的角是周角的 1360.()(2)1 弧度的角大于 1 度的角()答案(1)(2)2.一些特殊角与弧度数的对应关系度03045 _ _ 120 135 150 _ _ 360弧度_32_32_0 64
3、602318027056342903.(1)75 rad 化为角度是_(2)105的弧度数是_(1)252(2)712(1)75 rad75 180 252；(2)105105 180 rad712 rad.知识点 2 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为 R，弧长为 l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：l_.(2)扇形面积公式：S_.R12lR12R24.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)扇形的半径为 1 cm，圆心角为 30，则扇形的弧长 lR|13030(cm)()(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的 2 倍，则扇形的弧长也扩大为原来的 2 倍()(3)若扇形的半径和
4、弧长都变为原来的 2 倍，则扇形的面积变为原来的 2 倍()答案(1)(2)(3)3 由已知得 S 扇126223.5.半径为 2，圆心角为6的扇形的面积是_合作探究释疑难 NO.2类型1 角度与弧度的互化与应用 类型2 用弧度数表示角 类型3 弧长公式与扇形面积公式的应用 类型 1 角度与弧度的互化与应用【例 1】(1)将 11230化为弧度为_将512rad 化为角度为_(2)已知 15，10 rad，1 rad，105，712 rad，试比较，的大小(1)58 rad 75(1)因为 1 180rad，所以 11230 180112.5 rad58 rad.因为 1 rad180，所以5
5、12rad51218075.(2)解 法一(化为弧度)：1515 180 rad 12 rad，105105 180 rad712 rad.显然 12 101712.故.法二(化为角度)：10 rad 1018018，1 rad57.30，712180105.显然，151857.30105.故.角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式 rad180是关键(2)方法：度数 180弧度数；弧度数180度数(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度跟进训练1(1)将15730化成弧度为_(2)将115 rad 化为度是_(1)78 rad(2)396(1)15730157.53
6、152 180rad78 rad.(2)115 rad115 180396.2在0,4中，与 72角终边相同的角有_(用弧度表示)25，125 因为终边与 72角相同的角为 72k360(kZ)当 k0 时，7225 rad；当 k1 时，432125 rad，所以在0,4中与 72终边相同的角有25，125.类型 2 用弧度数表示角【例 2】(1)终边经过点(a，a)(a0)的角 的集合是()A4 B4，54C42k，kZD4k，kZ(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角 的集合解(1)D 因为角 的终边经过点(a，a)(a0)，所以角 的终边落在直线 yx 上，所以角
7、 的集合是4k，kZ.(2)解 因为 306 rad,21076 rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上的角为 k6，kZ，而终边在 y 轴上的角为 k2，kZ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为k6k2，kZ.1弧度制下与角 终边相同的角的表示在弧度制下，与角 的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角 终边相同的角可以表示成 加上 2 的整数倍2根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形(2)写出区域边界作为终边时角的表示(3)用不等式表示区域范围内的角提醒：角度制与弧度制不能混用.跟进训练3下列与94 的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45(
8、kZ)Bk36094(kZ)Ck360315(kZ)Dk54(kZ)C A，B 中弧度与角度混用，不正确9424，所以94 与4终边相同31536045，所以315也与 45终边相同故选 C.4用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合解 306 rad,15056 rad.终 边 落 在 题 干 图 中 阴 影 区 域 内 角 的 集 合(不 包 括 边 界)是6k56 k，kZ.类型 3 弧长公式与扇形面积公式的应用【例 3】已知扇形的周长为 8 cm.(1)若该扇形的圆心角为 2 rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角以扇形的面积和弧长公式
9、为切入点，建立面积与变量 r 或 l 的关系式，并思考最值的求解方法解 设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S.(1)由题意得：2rl8，l2r，解得 r2，l4，S12lr4(cm2)(2)由 2rl8 得 l82r，r(0,4)，则 S12lr12(82r)r4rr2(r2)24，当 r2 时，Smax4，此时 l4，圆心角 lr2.扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是 S12lR12R2(其中 l 是扇形的弧长，R 是扇形的半径，是扇形圆心角的弧度数，02)(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪
10、些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解提醒：看清角的度量制，恰当选用公式跟进训练5求半径为 1 cm，圆心角为 120的扇形的弧长及面积解 因为 r1，120 18023，所以 lr23 cm，S12lr3 cm2.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 C 角度制与弧度制不能混用，故选 C.1与 1角终边相同的角的集合是()A.k360 180，kZ B.k360 180，kZC.2k 180，kZ D.2k 180，kZ1 2 3 4 5 B 由弧度数公式|lr，得|32rr 32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.2圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧
11、所对的圆心角是()A23 rad B32 radC23 radD32 rad1 2 3 4 5 3(多选)下列转化结果正确的是()A60化成弧度是3 radB103 rad 化成度是600C150化成弧度是76 radD 12 rad 化成度是 151 2 3 4 5 ABD 对于 A,6060 180 rad3 rad；对于 B，103 rad103 180600；对于 C，150150 180 rad56 rad；对于 D，12 rad 11218015.故选 ABD.1 2 3 4 5 56 570196 456.4若把570写成 2k(kZ,02)的形式，则 _.5 1 2 3 4 253 15056，弧长 l56 202 253.5在直径为 20 cm 的圆中，150的圆心角所对的弧长为_回顾本节知识，自我完成以下问题：1角度制与弧度制怎样转化？提示 1 180rad,1rad180.2角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？提示 角度制弧度制弧长lnr180lr面积Snr2360S12lr12r2点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
