1、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质，能综合运用抛物线的基本知识，分析探究与抛物线相关的综合问题_1_.Fl FlFl平面内与一定点 和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物抛物线的定义线的2.抛物线的标准方程与几何性质00(0)(0)222222xyppFFpppxyxpy 准线；轴；轴；，；，；【要点指南】；1.(2010四川卷)抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是()A1B2C4D8【解析】由 y28x，得 p4，故选 C.2.抛物线 yax2 的准线方程是 y2，则 a 的值为()A.18 B18C8D8【解析】将方程 yax2 化为
2、 x21ay，所以准线方程为 14a2，所以 a18.3.抛物线 y28x 的焦点坐标是()A(2,0)B(2,0)C(4,0)D(4,0)【解析】由抛物线方程 y28x，得 2p8，所以p22，从而抛物线的焦点为(2,0)4.(2012广州模拟)若直线 axy10 经过抛物线 y24x 的焦点，则实数 a 1.【解析】由题意知抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，点F 在直线 axy10 上，所以 a10，所以 a1.5.过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线 l，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若 y1y26，则|AB|等于 8.【解析】|AB|y1y2p628.一
3、 抛物线的定义及应用【例 1】已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，经过点 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方相交于点 A，AKl，垂足为 K，求AKF 的面积【解析】如图所示，由已知，F(1,0)，根据抛物线定义知，|AF|AK|，又 kAF 3，AKl，所以KAFAFx60，所以AKF 为正三角形，所以KFO60，|BF|2，所以|KF|BF|cos604，所以 SAKF1242sin604 3.【点评】充分应用抛物线的定义及图形的几何特征解题，简化运算过抛物线 y28x 的焦点 F 作抛物线的弦 AB，若 AB 中点 Q 的横坐标为 3，求弦 AB 的长素材1【解析】
4、抛物线的焦点为 F(2,0)，准线方程为 x2，过 A、B、Q 分别作准线的垂线，垂足分别为 A1、B1、Q1.由抛物线定义知，|AB|FA|FB|AA1|BB1|2|QQ1|2(32)10.二 抛物线的标准方程与几何性质【例 2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，抛物线上一点 M(m，3)到焦点 F 的距离为 5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程 【分析】确定抛物线方程的形式 待定系数法确定参数p 明确结论.【解析】方法 1：设所求抛物线方程为 x22py(p0)，则焦点为 F(0，p2)，准线方程为 yp2，因为 M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，则m26pm23p225，解得
5、p4m2 6，所以抛物线方程为 x28y，m2 6，准线方程为 y2.方法 2：如图所示，设抛物线方程为 x22py(p0)，则焦点为 F(0，p2)，准线 l：yp2，作 MNl，垂足为 N，则|MN|MF|5，而|MN|3p2，所以 3p25，所以 p4，所以抛物线方程为 x28y，准线方程为 y2.由 m2(8)(3)，得 m2 6.【点评】(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法，利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离 p 的值(2)“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，许多圆锥曲线问题均可根据定义而获得简捷、直观的求解“由数想形，由形悟数，数形结合”是灵活解题的一条捷径(1)直线
6、 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于 A、B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是(B)Ay212xBy28xCy26xDy24x素材2(2)已知 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，A、B 是 C上的两个点，线段 AB 的中点为 M(2,2)，则ABF 的面积等于 2.【分析】(1)由定义转化距离求参数 p 来确定方程(2)“点差法”求 AB 的斜率，确定方程，进而求面积 【解析】(1)如图，分别过点 A、B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 M、N，由抛物线的定义知，|AM|BN|AF|BF|AB|8，又四边形 AMNB
7、为直角梯形，故 AB 的中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度 4，而抛物线的准线方程为 xp2，所以 42p2p4，故抛物线的方程为 y28x.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y214x1y224x2，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)y2y1x2x14y1y2 4221.所以线段 AB 所在直线的方程为 y2x2，即 yx，由y24xyxx24x0 x0 或 x4，所以 A(0,0)，B(4,4)，所以|AB|42424 2.F(1,0)，F 到线段 AB 的距离 d 22，所以 SABF12|AB|d2.三抛物线的综合应用【例 3】如图，倾斜角为 的直线经过抛物线 y
8、28x 的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点(1)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；(2)若 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，求证：|FP|FP|cos2 为定值，并求此定值【解析】(1)设抛物线的标准方程为 y22px，则 2p8，从而 p4.因此焦点 F(p2，0)的坐标为(2,0)，又准线方程的一般式为 xp2，从而所求准线 l 的方程为 x2.(2)证明：如图，作 ACl，BDl，垂足分别为 C、D，则由抛物线的定义知|FA|AC|，|FB|BD|.记 A、B 的横坐标分别为 xA、xB，则|FA|AC|xAp2|FA|cos4，解得|FA|
9、41cos，则类似地有|FB|4|FB|cos，解得|FB|41cos，记直线 m 与 AB 的交点为 E，|FE|FA|AE|FA|FA|FB|212(|FA|FB|)12(41cos41cos)4cossin2.所以|FP|FE|cos 4sin2，故|FP|FP|cos2 4sin2(1cos2)42sin2sin2 8.【点评】分析探究几何性质并充分应用抛物线的定义是本例求解的关键 A、B 是抛物线 y22px(p0)上的两点，且 OAOB(O 为坐标原点)(1)求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线 AB 过定点素材3【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)
10、，中点 P(x0，y0)(1)kOAy1x1，kOBy2x2.因为 OAOB，所以 kOAkOB1，所以 x1x2y1y20.因为 y212px1，y222px2，所以y212py222py1y20.因为 y10，y20，所以 y1y24p2，所以 x1x24p2.(2)证明：因为 y22y21(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，又 x1x2，所以y2y1x2x1 2py1y2.所以直线 AB 的方程为 yy1 2py1y2(xx1)2py1y2(xy212p)，所以 y 2py1y2xy21y1y2y1 2py1y2x y1y2y1y2 2py1y2x 4p2y1y2 2py1y2(x
11、2p)所以直线 AB 过定点(2p,0)备选例题如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C(0，c)任作一直线，与抛物线 yx2 相交于 A、B两点一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线 l：yc 交于点 P、Q.(1)若OA OB 2，求 c 的值；(2)若 P 为线段 AB 的中点，求证：直线 QA 为此抛物线的切线【解析】(1)设直线 AB 的方程为 ykxc，将该方程代入 yx2，得 x2kxc0.令 A(a，a2)，B(b，b2)，则 abc.因为OA OB aba2b2cc22，解得 c2 或 c1(舍去)，故 c2.(2)证明：由题意知 Q(ab2
12、，c)，直线 AQ 的斜率为 kAQ a2caab2a2abab22a.又 yx2 的导数为 y2x，所以点 A 处抛物线的切线的斜率为 2a.因此，直线 AQ 为该抛物线的切线|1|1|2|001111MFPMdPMMFdMFPMedeeee抛物线定义的集合表示：，即圆锥曲线的统一定义为当时，曲线为椭圆；当时，曲线为双曲线类比圆锥曲线统一定义；当时，曲线为抛物线 21122121220()(2).pypx pFABA xyB xyABxxp求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数 的值同时，知道抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相依并存的，知道其中一个，就可以求出其他两个焦点弦公式：对于过抛物线焦点的弦长，可用焦半径公式推出弦长公式设过抛物线的焦点 的弦定义及标准方程的理解为，则有(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数 1.41.45pxyxy抛物线标准方程中参数 的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号，则抛物线的开口方向为 轴或 轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口方向为轴或 轴的负方向