1、1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x)(xD)，把使函数 yf(x)的值为 0 的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点.(2)几个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个_c_也就是方程 f(x)0的根.2.二分法对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与 x
2、轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.()(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)二次函数 yax2b
3、xc(a0)在 b24ac0 时没有零点.()(5)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点.()1.(教材改编)函数 f(x)12x(12)x 的零点个数为_.答案 1解析 f(x)是增函数，又 f(0)1，f(1)12，f(0)f(1)0，f(x)有且只有一个零点.2.(教材改编)已知 f(x)ax2bxc 的零点为 1,3，则函数 yax2bxc 的对称轴是_.答案 x2解析 ya(x1)(x3)a(x2)2a，对称轴为 x2.3.(2016长春检测)函数 f(x)12ln xx1x2 的零点所在的区间是_.(1e，1);(1,
4、2)；(2，e);(e,3).答案 解析 因为 f(1e)121ee20，f(1)20，f(2)12ln 2120，所以 f(2)f(e)0，所以函数 f(x)12ln xx1x2 的零点所在区间是(2，e).4.函数 f(x)ax12a 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_.答案 13，1解析 函数 f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得13a1，实数 a 的取值范围是13，1.5.(教材改编)已知函数 f(x)x2xa 在区间(0,1)上有零点，则实数 a 的取值范围是_.答案(2,0)解析 结合二次函数 f(x)x2xa 的图
5、象知f00，故a0，所以2a0.题型一 函数零点的确定命题点 1 确定函数零点所在区间例 1(1)(2016盐城调研)已知函数 f(x)ln x 12x2 的零点为 x0，则 x0 所在的区间是_.(填序号)(0,1);(1,2);(2,3);(3,4).(2)设函数 yx3 与 y(12)x2 的图象的交点为(x0，y0)，若 x0(n，n1)，nN，则 x0 所在的区间是_.答案(1)(2)(1,2)解析(1)f(x)ln x 12x2 在(0，)为增函数，又 f(1)ln 1 121ln 120，f(2)ln 2 1200，x0(2,3).(2)令 f(x)x3(12)x2，则 f(x0
6、)0，易知 f(x)为增函数，且 f(1)0，x0 所在的区间是(1,2).命题点 2 函数零点个数的判断例 2(1)函数 f(x)x22，x0，2x6ln x，x0 的零点个数是_.(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当 x0,1时，f(x)x，则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是_.答案(1)2(2)4解析(1)当 x0 时，令 x220，解得 x 2(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当 x0 时，f(x)21x0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数.又因为 f(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)
7、的零点个数为 2.(2)由题意知，f(x)是周期为 2 的偶函数.在同一坐标系内作出函数 yf(x)及 ylog3|x|的图象，如图，观察图象可以发现它们有 4 个交点，即函数 yf(x)log3|x|有 4 个零点.思维升华(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.(1)已知函数 f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是_.(填序号)(0,1);(1,2)；(2,4);(4，).(2)(教材改编)已知函数 f(x)2x3x，则函数 f(
8、x)的零点个数为_.答案(1)(2)2解析(1)因为 f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)32log24120，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).(2)令 f(x)0，则 2x3x，在同一平面直角坐标系中分别作出 y2x 和 y3x 的图象，如图所示，由图知函数 y2x 和 y3x 的图象有 2 个交点，所以函数 f(x)的零点个数为 2.题型二 函数零点的应用例 3(1)函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是_.(2)已知函数 f(x)|x23x|，xR，若方程 f(x)a|x1|0 恰有 4 个互异的实数根，则实数
9、 a的取值范围是_.答案(1)(0,3)(2)(0,1)(9，)解析(1)因为函数 f(x)2x2xa 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即 a(a3)0，即 a210a90，解得 a9.又由图象得 a0，0a9.引申探究本例(2)中，若 f(x)a 恰有四个互异的实数根，则 a 的取值范围是_.答案(0，94)解析 作出 y1|x23x|，y2a 的图象如下：当 x32时，y194；当 x0 或 x3 时，y10，由图象易知，当 y1|x23x|和 y2a 的图象有四个交点时，0a94.思维
10、升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组)，即得参数的取值范围.(2)方法：常利用数形结合法.(1)已知函数 f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则 a 的取值范围为_.(2)(2016江苏前黄中学调研)若函数 f(x)|x|x1kx2 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是_.答案(1)(2,0)(2)(，4)解析(1)ax2x 在(0,1)上有解，又 yx2x(x12)214，函数 yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)，0a2，2a0，xx1，x0，结合图象知141k0，所以 k
11、4.题型三 二次函数的零点问题例 4 已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围.解 方法一 设方程 x2(a21)x(a2)0 的两根分别为 x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即 a2a20，2a1.方法二 函数图象大致如图，则有 f(1)0，即 1(a21)a20，2a1.故实数 a 的取值范围是(2,1).思维升华 解决与二次函数有关的零点问题(1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系.(3)利用二次函
12、数的图象列不等式组.(2016江苏泰州中学质检)关于 x 的一元二次方程 x22(m3)x2m140 有两个不同的实根，且一根大于 3，一根小于 1，则 m 的取值范围是_.答案(，214)解析 设 f(x)x22(m3)x2m14，由题设可得f30，f10，所以 m0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_.(2)若关于 x 的方程 22x2xaa10 有实根，则实数 a 的取值范围为_.思想方法指导(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数 yf(x)的值域解决.解析(1)函数 f(x)axxa(a0
13、 且 a1)有两个零点，即方程 axxa0 有两个根，即函数 yax 与函数 yxa 的图象有两个交点.当 0a1 时，图象如图(2)所示，此时有两个交点.实数 a 的取值范围为(1，).(2)由方程，解得 a22x12x1，设 t2x(t0)，则 at21t1(t 2t11)2(t1)2t1，其中 t11，由基本不等式，得(t1)2t12 2，当且仅当 t 21 时取等号，故 a22 2.答案(1)(1，)(2)(，22 21.(2016江苏东海中学期中)若函数 f(x)x2x1，x2或x1，1，1x2，则函数 g(x)f(x)x 的零点为_.答案 1 2或 1解析 题目转化为求方程 f(x
14、)x 的根，所以x2或x1，x2x1x或1x2，1x，解得 x1 2或 x1，所以 g(x)的零点为 1 2或 1.2.若函数 f(x)log3xx3 的零点所在的区间是(n，n1)(nZ)，则 n_.答案 2解析 由 f(2)log3210，知 f(x)0 的根在区间(2,3)内，即 n2.3.已知三个函数 f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c的大小关系为_.答案 acb解析 方法一 由于 f(1)121120 且 f(x)为 R 上的递增函数.故 f(x)2xx 的零点 a(1,0).g(2)0，g(x)的零点 b2；h 12 112
15、120，且 h(x)为(0，)上的增函数，h(x)的零点 c12，1，因此 acb.方法二 由 f(x)0 得 2xx；由 h(x)0 得 log2xx，作出函数 y2x，ylog2x 和 yx 的图象(如图).由图象易知 a0,0c1，而 b2，故 ac0)的解的个数是_.答案 2解析(数形结合法)a0，a211.而 y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与 ya21 的图象总有两个交点.5.函数 f(x)x21x0，x2ln xx0 的零点个数为_.答案 2解析 当 x0 时，令 f(x)0，得 x210，x1，此时 f(x)有一个零点；当 x0 时，令f(x)0，得 x2ln x
16、0，在同一个坐标系中画出 y2x 和 yln x 的图象(图略)，观察其图象可知函数 y2x 和 yln x 的图象在(0，)上的交点个数是 1，所以此时函数 f(x)有一个零点，所以 f(x)的零点个数为 2.6.已知 xR，符号x表示不超过 x 的最大整数，若函数 f(x)xx a(x0)有且仅有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是_.答案 34，45 43，32)解析 当 0 x1 时，f(x)xx aa；当 1x2 时，f(x)xx a1xa；当 2x1，则函数 f(x)的零点为_.答案 x0解析 当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x
17、0，解得 x12，又因为 x1，所以此时方程无解.综上，函数 f(x)的零点只有 0.8.已知函数 f(x)2x1，x0，x22x，x0，若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_.答案(0,1)解析 画出函数 f(x)2x1，x0，x22x，x0 的图象，如图.由于函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，结合图象得 0m0 时，f(x)2 015xlog2 015x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为_.答案 3解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此 f(0)0，当 x0 时，f(x)2 015xlog2 015x 在区间(0，12 015)内存在一
18、个零点，又 f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数 f(x)在 R 上的零点的个数为 3.10.若 a1，设函数 f(x)axx4 的零点为 m，函数 g(x)logaxx4 的零点为 n，则1m1n的最小值为_.答案 1解析 设 F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，则 h(x)与 F(x)，G(x)的交点 A，B 横坐标分别为m，n(m0，n0).因为 F(x)与 G(x)关于直线 yx 对称，所以 A，B 两点关于直线 yx 对称.又因为 yx 和 h(x)4x 交点的横坐标为 2，所以 mn4.又 m0，n0，
19、所以1m1n(1m1n)mn414(2nmmn)14(22 nmmn)1.当且仅当nmmn，即 mn2 时等号成立.所以1m1n的最小值为 1.11.(2016江苏淮阴中学期中)已知关于 x 的一元二次方程 x22axa20 的两个实根是，且有 120，f20，即12aa20，44aa20，解得 2a115，所以实数 a 的取值范围为(2，115).12.关于 x 的二次方程 x2(m1)x10 在区间0,2上有解，求实数 m 的取值范围.解 显然 x0 不是方程 x2(m1)x10 的解，0 x2 时，方程可变形为 1mx1x，又yx1x在(0,1上单调递减，1,2上单调递增，yx1x在(0
20、,2上的取值范围是2，)，1m2，m1，故 m 的取值范围是(，1.13.已知 yf(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数 yf(x)的解析式；(2)若方程 f(x)a 恰有 3 个不同的解，求 a 的取值范围.解(1)设 x0，f(x)x22x.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)x22x.f(x)x22x，x0，x22x，x0.(2)方程 f(x)a 恰有 3 个不同的解.即 yf(x)与 ya 的图象有 3 个不同的交点，作出 yf(x)与 ya 的图象如图所示，故若方程 f(x)a 恰有 3 个不同的解只需1a1，故 a 的取值范围为(1,1).
