1、全 国 大 联 考2015届高三第四次联考数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x|-31-2x3,集合B=x|y=lg(x-1),则AB等于A.x|-2x1B.x|1x2C.x|1x2D.x|-1x0时,f(x)=52cos(2x)+log12x,
2、则函数f(x)的零点个数为A.4B.6C.7D.910.半径为1的球内最大圆柱的体积为A.269B.34C.233D.43911.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点分别为A、B,渐近线分别为l1、l2,点P在第一象限内且在l1上,若PAl2,PBl2,则该双曲线的离心率为A.5B.2C.3D.212.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为A.25B.26C.42D.43第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.在三棱锥O-ABC中,D为BC的中点,若以向量OA,O
3、B,OC为一组基底,则向量DA=.14.以圆F:x2+y2=2x+3的圆心为焦点、且顶点在原点的抛物线C与直线x=2相交的弦长为.15.在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2-b2=c,且sin Acos B=2cos Asin B,则c=.16.焦点在x轴,离心率为55的椭圆的短轴为AB,M为椭圆上一点(不与4个端点重合),MA、MB与x轴交于点E、F,若|OE|OF|=5,则椭圆的短轴长为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知点C的坐标为(0,1),A,B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动
4、点,且OAOB=0.(1)求证:ACBC;(2)若AM=MB(R),且OMAB=0,试求点M的轨迹方程.18.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=2BC,BAD=60,AEBD.(1)求证:CD平面ABFE;(2)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)已知数列an中,a1=5,a2=2,且2(an+an+2)=5an+1.(1)求证数列an+1-2an和an+1-12an都是等比数列;(2)求数列2n-3an的前n项和Sn.20.(本小题满分12分)如图,四棱锥A-BCDE中,F为BE的中点,平面
5、ABC平面BCDE,ABC为边长是2的正三角形,BC=BE=2CD,BEBC,CDBE.(1)求证:AEBD;(2)求二面角B-AD-C的余弦值;21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a-lnxx(aR).(1)求f(x)的极值;(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)=-1的图象在区间(0,e上有公共点,求实数a的取值范围.22.(本小题满分12分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率e=32.(1)求椭圆M的方程;(2)若F1,F2是椭圆M的左,右焦点,以线段F1F2为直径作圆N,点C(C点不同于F1,F2,且不在y轴上)为
6、圆N上任一点,直线F1C与直线x=3交于点R,D为线段RF2的中点,试判断直线CD与圆N的位置关系,并证明你的结论.2015届高三第四次联考数学试卷参考答案1.C因为A=x|-22x4=x|-11,所以AB=x|-11=x|1x2.2.A对于,通过平移AB到右边的平面,可知ABCD,所以中ABCD;对于,通过作右边平面的另一条对角线,可得CD垂直AB所在的平面,所以中ABCD;对于,可知AB与CD所成的角60;对于,通过平移CD到下底面,可知AB与CD不垂直.所以能够得到ABCD的是和.3.D因为m0时,函数f(x)=52cos(2x)+log12x=52cos(2x)-log2x的零点个数,
7、即函数y=52cos(2x)与函数y=log2x的交点个数,如图所示有3个交点,又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数为32+1=7.10.D设圆柱的底面半径为r,高为h,则有(h2)2+r2=12,所以圆柱的体积为V=r2h=(1-h24)h=(-h34+h),而V=(-34h2+1),易知当h=23时,V取最大值(-h34+h)=-14(23)3+23=439.11.B依题意有A(-a,0),B(a,0),渐近线方程分别为l1:y=bax,l2:y=-bax,设P(x,y).由PBl2得yx-a=-ba,因为点P在直线y=bax上,于是解得P点坐
8、标为P(a2,b2),因为PAl2,所以y-0x-(-a)(-ba)=-1,即b3a(-ba)=-1,所以b2=3a2,因为a2+b2=c2,所以有c2=4a2,即c=2a,得e=2.12.C依据多面体的三视图可以画出它的直观图,如图,在棱长为4的正方体中,四面体ABCD就是满足图中三视图的多面体,其中A、B点为所在棱的中点,易知四面体ABCD最长的棱长为|AB|=42.13.OA-12OB-12OCDA=OA-OD=OA-12(OB+OC)=OA-12OB-12OC.14.42依题知圆F的圆心坐标为(1,0),所以抛物线C的方程为y2=4x,联立y2=4xx=2,得x=2y=-22或x=2y
9、=22,所以抛物线C与直线相交的弦长为42.15.3由sin Acos B=2cos Asin B得a2Ra2+c2-b22ac=2b2+c2-a22bcb2R,所以a2+c2-b2=2(b2+c2-a2),即a2-b2=c23,又a2-b2=c,解得c=3.16.4设椭圆方程:x2a2+y2b2=1(ab0),因为e=ca=55,a2=b2+c2,所以5b2=4a2,设M(x0,y0),满足x02a2+y02b2=1,即b2x02=a2b2-a2y02,不妨令A(0,-b),则kAM=y0+bx0,直线AM:y=y0+bx0x-b,所以|OE|=|bx0b+y0|,同理|OF|=|bx0b-
10、y0|,所以|OE|OF|=b2x02b2-y02,由及|OE|OF|=5,得a2=5,代入,得b2=4,所以短轴长2b=4.17.解:(1)设A(x1,x12),B(x2,x22),x10,x20,x1x2,因为OAOB=0,所以x1x2+x12x22=0,又x10,x20,所以x1x2=-1.因为 AC=(-x1,1-x12),BC=(-x2,1-x22),且(-x1)(1-x22)-(-x2)(1-x12)=(x2-x1)+x1x2(x2-x1)=(x2-x1)-(x2-x1)=0,所以ACBC.5分(2)由题意知,点M是直角三角形AOB斜边上的垂足,又定点C在直线AB上,OMB=90,
11、所以点M在以OC为直径的圆上运动,其运动轨迹方程为x2+(y-12)2=14(y0).10分18.解:(1)ABCD,CD平面ABFE,AB平面ABFE,CD平面ABFE;5分(2)AB=2BC=2AD,BAD=60,在ABD中由余弦定理可得BD=3AD,BD2+AD2=AB2,BDAD.AEBD,ADAE=A,AD、AE平面ADE,BD平面ADE.BDDE.DEDC,DE平面ABCD.法一:延长BF交AE的延长线于点H,连接DH.则DHB为直线BF与平面ADE所成的角,不妨取AB=2BC=2,易得BD=3,BH=AH=22,直线BF与平面ADE所成角的正弦值为BDBH=322=64.12分法
12、二:DA,DB,DE两两互相垂直,建立如图的空间直角坐标系D-xyz.ABCD是等腰梯形,且AB=2BC, BAD=60,CB=CD=CF.不妨设BC=1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),F(-12,32,1).FB=(12,32,-1),又平面ADE的一个法向量可取u=(0,1,0),直线BF与平面ADE所成角的正弦值为|cosFB,u|=|FBu|FB|u|=3221=64.12分19.解:(1)由2(an+an+2)=5an+1得an+2=52an+1-an,所以an+2-2an+1=52an+1-an-2an+1=12an
13、+1-an=12(an+1-2an).又因为a2-2a1=2-25=-8,所以数列an+1-2an是首项为-8,公比为12的等比数列.同理an+2-12an+1=52an+1-an-12an+1=2an+1-an=2(an+1-12an),又a2-12a1=2-52=-12,所以数列an+1-12an是首项为-12,公比为2的等比数列.6分(2)由(1)知an+1-2an=-8(12)n-1=-2-n+4,an+1-12an=-122n-1=-2n-2,将以上两式相减得到an=25-n-2n-13(nN+),所以2n-3an=2n-325-n-2n-13=4-4n-23(nN+),所以Sn=4
14、n3-13(4-1+40+41+42+4n-2)=48n-4n+136.12分20.解:(1)取BC的中点O,连结OE,OA,因为ABC为正三角形,所以AOBC,因为平面ABC平面BCDE,所以AO平面BCDE,所以AOBD,易证BCDEBO,所以BOE=CDB,因为CBD+CDB=90,所以BDOE,所以BD平面AOE,所以AEBD.6分(2)法一:取AC的中点G,过G作GHAD于点H,连结BH,因为ABC为正三角形,所以BGAC,因为平面ABC平面BCDE,CDBC,所以CD平面ABC,所以CDBG,于是BG平面ACD,所以ADBG,所以AD平面BGH,所以ADBH,所以BHG为二面角B-
15、AD-C的平面角.因为BG=3,GH=55,所以BH=455,所以cosBHG=GHBH=14,所以二面角B-AD-C的余弦值为14.12分法二:由(1)以点O为原点,在平面BCDE内BC的垂线OK为y轴,BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为z轴,如图所示建立空间直角坐标系.于是有B(1,0,0),D(-1,1,0),C(-1,0,0),A(0,0,3),则DA=(1,-1,3),DC=(0,-1,0),DB=(2,-1,0),设平面ACD的法向量为u=(x,y,z),所以uDA=0,uDC=0,即x-y+3z=0,y=0,所以可取u=(3,0,-1),同理可取平面ABD的法向量v=(3,2
16、3,1),所以二面角B-AD-C的余弦值为|cosu,v|=|uv|u|v|=3-124=14.12分21.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-1-(a-lnx)x2,令f(x)=0,得x=e1+a,当x(0,e1+a)时,f(x)0,f(x)是增函数.所以当x=e1+a时,f(x)取得极小值,即极小值为f(x)=a-(a+1)ea+1=-e-1-a,无极大值.6分(2)当e1+ae,即a0,当x(ea,e)时,f(x)(-e-1-a,0),所以f(x)的图象与函数g(x)=-1的图象在区间(0,e上有公共点,等价于-e-1-a-1,
17、解得a-1,又a0,所以a-1.当e1+ae,即a0时,f(x)在(0,e上是减函数,f(x)在(0,e上的最小值为f(e)=a-1e,所以,原问题等价于a-1e-1,得a1-e0,又a0,所以不存在这样的实数a.综上知实数a的取值范围是a-1.12分22.解:(1)由题意可得a=2,e=ca=32,所以c=3,从而b2=a2-c2=1.所以椭圆M方程为x24+y2=1.6分(2)椭圆M的焦点为F1(-3,0),F2(3,0),圆N的圆心在原点,半径为r=3,所以圆N的方程为x2+y2=3.设C(m,n)(m0,n0),点R的坐标为(3,t),因为F1、C、R三点共线,所以F1CF1R,而F1C=(m+3,n),F1R=(23,t),所以23n=t(m+3),即t=23nm+3,所以点R的坐标为(3,23nm+3),点D的坐标为(3,3nm+3),所以直线CD的斜率为k=n-3nm+3m-3=(m+3)n-3nm2-3=mnm2-3.因为m2+n2=3,所以m2-3=-n2,所以k=mn-n2=-mn,又直线OC(O为坐标原点)的斜率为kOC=nm,所以kOCk=-1,所以直线CDOC.所以直线CD与圆N相切.12分
