1、第1讲 坐标系与参数方程 考情分析 总纲目录 考点一 极坐标方程 考点二 参数方程 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 考点一 极坐标方程 1.圆的极坐标方程若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的极坐标方程为2-20cos(-0)+-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:(1)当圆心位于极点,半径为r时:=r;(2)当圆心为M(a,0),半径为a时:=2acos;(3)当圆心为M,半径为a时:=2asin.20,2a 2.直线的极坐标方程若直线过点M(0,0),且极轴与此直线所成的角为,则此直线的极坐标方程为sin(-)=0sin(0-).几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)直线过极点
2、:=0和=+0;(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:cos=a;(3)直线过M 且平行于极轴:sin=b.,2b 典型例题(2016课标全国)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.cos,sinxtyt10得2+12cos+11=0.于是1+2=-12cos,12=11.|AB|=|1-2|=.由|AB|=得cos2=,tan=.所以l的斜率为 或-.21212()4 2144cos44 1038153153153
3、解析(1)由x=cos,y=sin 可得圆C的极坐标方程为2+12cos+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程方法归纳1.求曲线的极坐标方程的一般思路求曲线的极坐标方程问题通常利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解,然后再次利用互换公式转化为极坐标方程.熟练掌握互换公式是解题的关键.2.解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立,根据限制条件求出极坐标.跟踪集训 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C
4、2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解析(1)因为x=cos,y=sin,所以C1的极坐标方程为cos=-2,C2的极坐标方程为2-2cos-4sin+4=0.(2)将=代入2-2cos-4sin+4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=4422.故1-2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以易求得C2MN的面积为.22212考点二 参数方程 几种常见的参数方程(1)圆以O(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是 其中是
5、参数.当圆心为(0,0)时,方程为 其中是参数.(2)椭圆椭圆+=1(ab0)的参数方程是 其中是参数.椭圆+=1(ab0)的参数方程是 其中是参数.(3)直线cos,sin,xarybrcos,sin,xryr22xa22ybcos,sin,xayb22xb22yacos,sin,xbya经过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程是 其中t是参数.00cos,sin,xxtyyt典型例题(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解
6、析(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.3cos,sinxy4,1xatyt 1729x由 解得 或 从而C与l的交点坐标为(3,0),.22430,19xyxy3,0 xy21,2524.25xy 21 24,25 25(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos,sin)到l的距离为d=.当a-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;当a0,为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos=.(1)若曲线C与l只有一个公共点,求a的值;(2)A,B为曲线C上的两点,且AOB=,求OA
7、B面积的最大值.解析(1)由题意知,曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,由直线l与圆C只有一个公共点,可得=a,cos,sinxaaya33233|3|2a 解得a=1或a=-3(舍).所以a=1.(2)曲线C是以(a,0)为圆心,a为半径的圆,且AOB=,由正弦定理得=2a,所以|AB|=a.又|AB|2=3a2=|OA|2+|OB|2-2|OA|OB|cos|OA|OB|,所以SOAB=|OA|OB|sin 3a2=,所以OAB面积的最大值为.3|sin 3AB33123123223 34a23 34a1.(2017安徽两校阶段性检测)已知曲线
8、C的极坐标方程是=4cos.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角的值.1cos,sinxtyt 14随堂检测解析(1)由=4cos 得其直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)将 代入圆C的直角坐标方程得(tcos-1)2+(tsin)2=4,化简得t2-2tcos-3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则|AB|=|t1-t2|=,4cos2=2,故cos=,即=或.1cos,sinxtyt 121 2
9、2cos,3,ttt t 2121 2()4ttt t24cos12 14224342.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.2,3解析(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos(0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos,于是OAB的面积S=|OA|BsinAOB=4cos =2 2+.当=-时,S取得最大值2+.4cos12sin33sin 2323123所以OAB面积的最大值为2+.3
