1、第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用(重点)1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养.2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是，与这两个 1 等距离的项的系数_(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的，即.相
2、等1 和Crn1Cr1n Crn2二项式系数的性质(1)对称性：在(ab)n 的展开式中，与的两个二项式系数相等，即 C0nCnn，C1nCn1n，CrnCnrn.(2)增减性与最大值：当 kn12 时，二项式系数是逐渐的由对称性知它的后半部分是逐渐的，且在中间取得最大值当 n是偶数时，中间一项的二项式系数_取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数_与_相等，且同时取得最大值首末两端“等距离”增大减小3各二项式系数的和(1)C0nC1nC2nCnn；(2)C0nC2nC4nC1nC3nC5n.2n12n1(12x)15 的展开式中的各项系数和是()A1 B1C215D315B 令 x
3、1 即得各项系数和，各项系数和为1.2在(ab)10 二项展开式中与第 3 项二项式系数相同的项是()A第 8 项B第 7 项C第 9 项D第 10 项C 由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等3在(ab)8 的展开式中，二项式系数最大的项为_，在(ab)9 的展开式中，二项式系数最大的项为_70a4b4 126a5b4 与 126a4b5 因为(ab)8 的展开式中有 9 项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为 C48a4b470a4b4.因为(ab)9 的展开式中有 10 项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为 C49a5b4126a5b4，C59a4b5126a
4、4b5.合 作 探 究 释 疑 难“杨辉三角”的应用【例 1】如图所示，在“杨辉三角”中斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前 n 项和为 Sn，求 S19 的值思路点拨 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3项是 C23，第 4 项是 C13，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19项是 C211.解 S19(C22C12)(C23C13)(C24C14)(C210C110)C211(C12C13C14C110)(C22C23C210C211)(23410)C312210922202
5、74.解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法跟进训练1将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15按照以上排列的规律，第 n 行(n3)从左向右的第 3 个数为_n2n62 前n1行共有正整数12(n1)个，即n2n2个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第n2n23 个，即为n2n62.求展开式的系数和【例 2】设(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR)(1)求 a0a1a2a2 018 的值；(2)求 a1a3a5a2 017 的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 018|的值思路点拨 先观察所求式子与
6、展开式各项的特点，利用赋值法求解 解(1)令 x1，得 a0a1a2a2 018(1)2 0181.(2)令 x1，得 a0a1a2a2 017a2 01832 018.得 2(a1a3a2 017)132 018，a1a3a5a2 017132 0182.(3)Tr1Cr2 018(2x)r(1)rCr2 018(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 018|a0a1a2a3a2 017a2 01832 018.在本例条件不变的情况下，求下列各式的值(1)a2a4a6a2 018；(2)a12a23a32 018a2 018.解(1)由a0a1a2a
7、2 0181，a0a1a2a2 01832 018，得 2(a0a2a2 018)32 0181，a0a2a2 01832 01812，又令 x0 得 a01，a2a4a6a2 01832 01812.(2)(12x)2018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR)，两边分别求导得 4 036(12x)2 017a12a2x2 018a2 018x2 017(xR)，令 x1 得，4 036a12a22 018a2 018.二项展开式中系数和的求法1对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对(a
8、xby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1 即可 2一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为 a1a3a5f1f12.跟进训练2已知(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，求：(1)a0a1a2a3a4；(2)(a0a2a4)2(a1a3)2.解(1)由(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，令 x1 得(23)4a0a1a2a3a4，所以 a0a1a2a3a41.(2)在(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4 中，令 x1 得(
9、23)4a0a1a2a3a4，令 x1 得(23)4a0a1a2a3a4.所以(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(23)4(23)4(23)4(23)4625.二项式系数性质的应用 探究问题1计算 CknCk1n，并说明二项式系数的单调性 提示 CknCk1n nk1k.当 k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当 kn12 时，二项式系数逐渐减小2如何求(abx)n(a，bR)的展开式中系数最大的项？提示 求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，An1，且第 r1 项系数最大，应用A
10、r1Ar2，Ar1Ar解出 r，即得系数的最大项【例 3】已知 f(x)(3 x23x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路点拨 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去，包括“”“”号 解 令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或 2n32，n5.(1)由
11、于 n5 为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3C25(x23)3(3x2)290 x6，T4C35(x23)2(3x2)3270 x223.(2)展开式的通项公式为 Tr1Cr53rx23(52r)假设 Tr1 项系数最大，则有Cr53rCr15 3r1，Cr53rCr15 3r1，5！5r！r！35！6r！r1！，5！5r！r！5！4r！r1！3，3r 16r，15r 3r1.72r92，rN，r4.展开式中系数最大的项为 T5C45x23(3x2)4405x263.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为
12、偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得跟进训练3(12x)n 的展开式中第 6 项和第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解 T6C5n(2x)5，T7C6n(2x)6，依题意有 C5n25C6n26n8，(12x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5C48(2x)41 120 x4.设第 r1 项系数最大，则有 Cr82rCr18 2r1Cr82rCr18 2r1 5r6.r0,1,2，8，r5 或 r6.系数最大的项为 T61 792x5，T7
13、1 792x6.课 堂 小 结 提 素 养 1赋值法是求展开式系数和的常用方法，一般对字母赋的值为0,1 或1.2释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断一般采用列不等式、解不等式的方法求解(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()(2)二项展开式的二
14、项式系数和为 C1nC2nCnn.()(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()答案(1)(2)(3)2已知(ab)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于()A11 B10C9D8D 第 5 项的二项式系数最大，故展开式为 9 项，n8.3若(x3y)n 的展开式中各项系数的和等于(7ab)10 的展开式中二项式系数的和，则 n 的值为_5(7ab)10 的展开式中二项式系数的和为 C010C110C1010210，令(x3y)n 中 xy1，则由题设知，4n210，即 22n210，解得 n5.4已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若 a280，求 a0a1a2a5 的值解(ax)5 展开式的通项为 Tk1(1)kCk5a5kxk，令 k2，得a2(1)2C25a380，解得 a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令 x1，得 a0a1a2a51.所以 a0a1a2a51.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
