1、第1讲 三角函数的图象与性质 考情分析 年份卷别题号考查内容命题规律20179三角函数的诱导公式及图象变换 高考对三角函数的图象的考查有:利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数的部分图象确定三角函数的解析式.三角函数的性质是高考的一个重要考点,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题,常通过三角变换将其转化为y=Asin(x+)的形式,再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性).14三角函数的最值6余弦函数的图象和性质20167三角函数图象的变换与性质14三角函数的图象变换20158三角函数的图象与性质总纲目录 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 考点二 三角函数的图
2、象（高频考点）考点三 三角函数的性质（高频考点）考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1.三角函数:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin=y,cos=x,tan=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.yx2.同角关系:sin2+cos2=1,=tan.sincos3.诱导公式:在+,kZ的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.2k典型例题 (1)(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin=,则cos(-)=.(2)已知sin+2cos=0,则2sin cos-cos2的值是
3、.答案(1)-(2)-11379解析(1)解法一:由已知得=(2k+1)-(kZ).sin=,sin=sin(2k+1)-=sin=(kZ).当cos=时,cos=-,cos(-)=cos cos+sin sin=+=-.当cos=-=-时,cos=,131321 sin 2 232 232 232 2313137921 sin 2 232 23cos(-)=cos cos+sin sin=+=-.综上,cos(-)=-.解法二:由已知得=(2k+1)-(kZ),2 232 2313137979sin=sin(2k+1)-=sin,cos=cos(2k+1)-=-cos,kZ.当sin=时,c
4、os(-)=cos cos+sin sin=-cos2+sin2=-(1-sin2)+sin2=2sin2-1=2-1=-.(2)由sin+2cos=0,得tan=-2.所以2sin cos-cos2=-1.1319792222sin coscossincos22tan1tan14 141 方法归纳应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定要注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.跟踪集
5、训 1.已知为锐角,且2tan(-)-3cos+5=0,tan(+)+6sin(+)=1,则sin 的值是()A.B.C.D.23 553 773 101013答案C 由已知可得-2tan+3sin+5=0,tan-6sin=1,解得tan=3,即=3,又sin2+cos2=1,为锐角,故sin=.sincos3 10102.已知点P 落在角的终边上,且0,2),则的值为()A.B.C.D.33sin,cos444345474答案Dtan=-1,又sin 0,cos 0,|.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2,则()A.=,=B.=,=-C.=,=-D.=,=(2)(2017课标全
6、国,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C258118231223111213112413724223x6B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2121261212解析(1)f=2,f=0,f(x)的
7、最小正周期大于2,=-=,得T=3,则=,又f=2sin=2,sin=1.+=2k+,kZ,=2k+,kZ.|0,0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定;确定常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.2.三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数得到哪个函数,这是判断移动方向的关键点.(2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看y=Asin(x+)中的正负和它的平移要求.(3)看移动单位:在函数y=Asin(x+)中,周期变换和相位变换都
8、是沿x轴方向的,所以和之间有一定的关系,是初相,再经过的压缩,最后移动的单位是.跟踪集训 1.(2017云南11校跨区调研)函数f(x)=sin x(0)的图象向左平移 个单位长度,所得到图象经过点,则的最小值是()A.B.2 C.1 D.32,033212答案C 依题意得,函数f=sin(0)的图象过点,于是有f =sin=sin()=0(0),则=k,kZ,因此正数的最小值是1,故选C.3x3 x2,032332332.(2017贵阳检测)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0),其导数f(x)的图象如图所示,则f 的值为()A.2 B.C.-D.-2222224答案D 依题意得
9、f(x)=Acos(x+),结合函数y=f(x)的图象可知,T=4=,=2.又A=1,因此A=.因为0,+0)在(0,)上有且只有两个零点,则实数的取值范围为()A.B.C.D.50,620,35,6 2,3 340,34 7,3 37 10,3 310 13,33解析(1)f(x)的最小正周期为2,易知A正确;f=cos=cos 3=-1,为f(x)的最小值,故B正确;f(x+)=cos=-cos,f=-cos=-cos=0,故C正确;由于f =cos=cos=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在 上不单调,故D错误.(2)f(x)=cos2-sin x-=-sin x=cos x-sin
10、 x=cos,由2k-x+2k(kZ),得2k-x2k-(kZ),又x0,所以当k=1时,f(x)的单调递增区间为,故选C.838333x3x663223233,2 32x 12323222cos12x1232126x67665,6 答案(1)D(2)C(3)B(3)易得f(x)=2sin,设t=x-,因为0 x,所以-t-,因为函数f(x)在(0,)上有且仅有两个零点,所以-2,解得 0)的单调性的一般思路是令x+=z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数的单调性求解.(2)三角函数周期性的求法:3x33334373函数y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的最小正
11、周期T=.应特别注意y=|Asin(x+)|的周期T=.2|跟踪集训 1.(2016课标全国,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos 的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.72x答案Bf(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-2+,又sin x-1,1,当sin x=1时,f(x)取得最大值5.2x23sin2x1122.(2017石家庄教学质量检测(二)已知函数f(x)=sin,f(x)是f(x)的导函数,则函数y=2f(x)+f(x)的一个单调递减区间是()A.B.C.D.212x7,12 125,12 12 2,335,
12、66答案A 由题意,得f(x)=2cos,所以y=2f(x)+f(x)=2sin+2cos=2 sin=2 sin.由2k+2x+2k+(kZ),得k+xk+(kZ),所以函数y=2f(x)+f(x)的一个单调递减区间为,故选A.212x212x212x22124x223x2332127127,12 123.(2017合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sin x-cos x(0)的最小正周期为.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在 上的单调性.0,2解析(1)f(x)=sin x-cos x=sin,且T=,=2,于是f(x)=sin.令2x-=k+(kZ
13、),得x=+(kZ),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(kZ).(2)令2k-2x-2k+(kZ),得函数f(x)的单调递增区间为(kZ).注意到x,所以令k=0,得函数f(x)在 上的单调递增区间为;同理,其单调递减区间为.24x224x422k382k382423,88kk0,20,230,83,82 1.若sin=-,且,则sin(-2)=()A.B.C.-D.-235,2 2425122512252425随堂检测答案D 由sin=cos=-,且,得sin=,所以sin(-2)=sin 2=2sin cos=-,故选D.235,2 4524252.(2017福建普通高中质量检测)若
14、将函数y=3cos 的图象向右平移 个单位长度,则平移后图象的一个对称中心是()A.B.C.D.22x6,06,06,012,012答案A 将函数y=3cos 的图象向右平移 个单位长度,得y=3cos=3cos 的图象,由2x+=k+(kZ),得x=+(kZ),当k=0时,x=,所以平移后图象的一个对称中心是,故选A.22x6262x26x622k66,063.(2017陕西高三教学质量检测试题(一)已知函数f(x)=sin(x+)的图象上的一个最高点与相邻的一个最低点的距离为2,且过点,则函数f(x)=.0,22212,2答案sin 26x解析 依题意得=2,则=2,即=,所以f(x)=s
15、in,由于该函数图象过点,因此sin=-,即sin=,而-,故=,所以f(x)=sin.222 222 x12,2 121222626x4.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 sin xcos x(xR).(1)求f 的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.323解析(1)由sin=,cos=-,f=-2 ,得f=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ.23322312232322123321223326x2632623所以,f(x)的单调递增区间是(kZ).2,63kk
