1、第3讲 圆锥曲线中的综合问题 考情分析 总纲目录 考点一 范围、最值问题 考点二 定点、定值问题 考点三 探索性问题 考点一 范围、最值问题 典型例题(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.1 1,2 43 9,2 41322x解析(1)设直线AP的斜率为k,k=x-,因为-xb0)的两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线+=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同
2、的两点A,B,若|2=|PA|PB|,求实数的取值范围.22xa22yb4x2y4x2yPM由 得x2-2x+4-3c2=0,直线+=1与椭圆E有且仅有一个交点M,=4-4(4-3c2)=0c2=1,椭圆E的方程为+=1.(2)由(1)得M,直线+=1与y轴交于P(0,2),|PM|2=,当直线l与x轴垂直时,|PA|PB|=(2+)(2-)=1,222,43142xycxy4x2y24x23y31,24x2y5433解析(1)由题意,得a=2c,b=c,则椭圆E为+=1.3224xc223yc|PM|2=|PA|PB|=,当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1)
3、,B(x2,y2),由 消去y,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,依题意得,x1x2=,且=48(4k2-1)0,k2.|PA|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)=1+=,=,k2,b0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4 中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.22xa22yb31,231,2因此 解得 故C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|+知,C不经过点P
4、1,所以点P2在C上.21a21b21a234b(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知=16(4k2-m2+1)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=,由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)+(m-1)=0.解得k=-.2841kmk 224441mk111yx221yx111kxmx221kxmx1212122(1)()kx xmxxx x224441mk2841kmk12m 当且仅当m-1时,0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1
5、).方法归纳定点与定值问题的求解策略(1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y=kx+m(k存在的情形),然后利用条件建立k与m的关系,借助于点斜式方程确定定点坐标.(2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值,再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值.在这类试题中选择消元的方法是非常关键的.12m 12m 跟踪集训(2017宝鸡质量检测(一)已知椭圆C:+=1(ab0)经过(1,1)与 两点.(1)求椭圆C的方程;(2)过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证:+为定值.22xa22yb63,2221|OA21|OB22|OM解析
6、(1)将(1,1)与 代入椭圆C的方程,得 解得 椭圆C的方程为+=1.(2)证明:由|MA|=|MB|知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A、B关于原点对称.若点A、B是椭圆的短轴端点,则点M是椭圆长轴的一个端点,此时+=+=2=2.同理,若点A、B是椭圆的长轴端点,则点M是椭圆短轴的一个端点,此时63,222222111,331,24abab223,3.2ab23x223y21|OA21|OB22|OM21b21b22a2211ab+=+=2=2.若点A、B、M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k0),则直线OM的方程为y=-x,设A(x1,y1),B(x2,y2),由
7、解得=,=,|OA|2=|OB|2=+=,同理,|OM|2=,所以+=2+=2.综上,+=2,为定值.21|OA21|OB22|OM21a21a22b2211ab1k22,2133ykxxy21x2312k21y22312kk21x21y223(1)12kk223(1)2kk21|OA21|OB22|OM22123(1)kk222(2)3(1)kk21|OA21|OB22|OM考点三 探索性问题 典型例题(2017武汉武昌调研考试)已知直线y=k(x-2)与抛物线:y2=x相交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作y轴的垂线交于点N.(1)证明:抛物线在点N处的切线与直线AB平行;(2)是否
8、存在实数k使 =0?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:由 消去y并整理,得2k2x2-(8k2+1)x+8k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4,xM=,yM=k(xM-2)=k=.12NANB2(2),12yk xyx22812kk122xx22814kk228124kk 14k由题设条件可知,yN=yM=,xN=2=,N.设抛物线在点N处的切线l的方程为y-=m,将x=2y2代入上式,得2my2-y+-=0.直线l与抛物线相切,=(-1)2-42m=0,m=k,即lAB.(2)假设存在实数k,使 =0,则NANB.M是AB的中点,
9、|MN|=|AB|.由(1),得|AB|=|x1-x2|=14k2Ny218k211,84kk14k218xk14k28mk2148mkk22()mkkNANB1221 k21 k21212()4xxx x21 k=.MNy轴,|MN|=|xM-xN|=-=.=,解得k=.故存在k=,使 =0.方法归纳解决探索性问题的注意事项存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在.(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.(2)当给出结论要求推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都未知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取其他的途径.22
10、281442kk 21 k221612kk22814kk218k221618kk221618kk1221 k221612kk1212NANB跟踪集训(2017兰州诊断考试)已知椭圆C:+=1(ab0)经过点(,1),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是椭圆上的点,直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为-.若动点P满足=+2,试探究是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值.若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)e=,=,可得=,又椭圆C经过点(,1),22xa22yb22212OPOMON2222ca1222ba122+=1,解得a2=
11、4,b2=2.椭圆C的方程为+=1.(2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由=+2 得x=x1+2x2,y=y1+2y2,点M,N在椭圆+=1上,+2=4,+2=4,故x2+2y2=(+4x1x2+4)+2(+4y1y2+4)=(+2)+4(+2)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2).kOMkON=-,x1x2+2y1y2=0.x2+2y2=20,22a21b24x22yOPOMON24x22y21x21y22x22y21x22x21y22y21x21y22x22y1212y yx x12故点P是椭圆+=1上的点.由椭圆的定义知存在点F1,F2满
12、足|PF1|+|PF2|=2=4,为定值,又|F1F2|=2=2,F1,F2的坐标分别为(-,0),(,0).随堂检测(2017东北四市高考模拟)已知椭圆C:+y2=1(a1),B1,B2分别是其上、下顶点,椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点N,点N的横坐标的取值范围是,求|AB|的取值220 x210y20520 1010101022xa1,04随堂检测(2017东北四市高考模拟)已知椭圆C:+y2=1(a1),B1,B2分别是其上、下顶点,椭圆C的左焦点F1在以B1B
13、2为直径的圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点N,点N的横坐标的取值范围是,求|AB|的取值范围.22xa1,04解析(1)由题知b=c=1,a=,椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l:y=k(x+1),联立方程得 消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,记A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得 则y1+y2=k(x1+x2+2)=,设AB的中点为Q,则Q,22bc222x22(1),1,2yk xxy212221224,2122,21kxxkkx xk 2221kk 2222,21 21kkkk直线QN的方程:y-=-=-x-,N,已知条件得-0,即02k21.|AB|=,02k21,1,|AB|,|AB|的取值范围为.221kk 1k22221kxk1k2221kk 22,021kk142221kk 21 k2222242242121kkkk 221121k122121k 3 2,2 223 2,2 22
