1、以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点，认识和理解直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理 1_.2_/.3_1/aaabaaa定义：如果直线 与平面 公共点，则直线 与平面 平行，记作判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线，则该直线与此平面平行用符号表示为：，且性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线直线与平面平行。用符号表示为：，_.l 1_./2_ _/.2ababP 定义：如果平面 与平面 公共点，则平面 与平面 平行，记作特别提醒：两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行，即“面 面线 面”判定定理：一个平面内的两条相
2、交直线与另一个平面，则这两个平面平行用符号表示为：，平面与平面平行的判定与性 质，3_./_./.abaaba b 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 用符号表示为：，特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如，不一定得到，同时，也不一定得到/aa ba lba b 没有；平行；平行；没有；平行；平行；【要点指南】1.已知直线 a，直线 b，则“ab”是“a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解析】由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但 a 时，a 与 b 的位置关系是平行或异面，即必要条件不成立，故选
3、 A.2.下列命题中，错误的是()A平行于同一条直线的两个平面平行B平行于同一个平面的两个平面平行C一个平面与两个平行平面相交，交线平行D一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交【解析】平行于同一直线的两个平面可能平行也可能相交，故 A 错误 3.(教材改编题)已知 a，b 是两条不重合的直线，是一个平面，有以下四个命题：ab，ba；a，bab；a，bab;ab，a，bb.其中，真命题的个数是()A1 个B2 个C3 个D4 个【解析】错，对，故选 A.4.下列结论：若两条直线与同一平面平行，则这两条直线平行；若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；若平面 平面，平面 平面，则平面
4、 平面.则其中正确的有_个()A0B1C2D3【解析】两条直线与同一平面平行，则这两条直线相交或异面，所以不正确 5.考察下列三个命题，在“_”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中 l，m 为不同直线，、为不重合平面)，则此条件为 l.mlm l；lmm l；l l.【解析】线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l.一 直线与平面平行的判定与性质把正方形 ABCD、ABEF 放置成如图的一个空间图形，M、N 分别是 AE、DB 上的点，且 AMDN.证明：MN平面 EBC.【分析】证明线面平行常用的方法：一是判定定理，关键是在平面 EBC 上
5、找一条直线与 MN 平行；二是先证明面面平行，再证明线面平行【证明】方法 1：过 M 作 MM1BE 于 M1，过 N 作 NN1BC 于 N1，连接 M1N1，则有 MM1AB，且MM1AB EMEA，NN1CD，且NN1CDBNBD.方法 2：如图，连接 AN 并延长与 BC(或 BC 的延长线)交于点 Q，连接 EQ.因为 ADBQ，所以ANNQDNNB.而 AMDN，MENB，所以ANNQDNNBAMME.在AEQ 中，ANNQAMME，所以 MNEQ.又 MN平面 EBC，EQ平面 EBC，所以 MN平面 EBC.方法 3：如图，过 M 作 MKAB 于 K，过 N 作 NK1AB于
6、 K1，则有 MKEB，故AKABAMAE，NK1AD，故AK1AB DNDB.而 AMDN，AEDB，所以AKABAK1AB，所以 K 与 K1 重合考虑平面 MNK 与平面 EBC.由 MKEB，MK平面 EBC，EB平面 EBC，得 MK平面 EBC.由 NKAD，得 NKBC.又 NK平面 EBC，BC平面 EBC，所以 NK平面 EBC.又 MKNKK，所以平面 MNK平面 EBC，而 MN平面 MNK，所以 MN平面 EBC.【点评】本题呈现了证明线面平行的一般方法，前两种证法本质上都是利用判定定理，但找与 MN 平行的直线操作不一样，证法 3 是先证面面平行，再利用面面平行的性质
7、来证明线面平行本题证明平行关系用的是比例关系，更有一般性若M、N 是所在边的中点，直接利用中位线定理更简捷本题的背景是几何体中的局部“场景”，但所用的证明方法非常有代表性 如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、O 分别是 A1B、AC 的中点求证：OM平面 BB1C1C.素材1【证明】方法 1：连接 AB1，B1C，如右图因为 M 是 AB1 的中点，O 是 AC 的中点，所以 MOB1C.又 MO平面 BB1C1C，B1C平面 BB1C1C，所以 OM平面 BB1C1C.方法 2：取 AB 的中点 N，连接 MN、ON，如图，则 MNBB1.又 MN平面 BB1C1C，BB1平
8、面 BB1C1C，所以 MN平面 BB1C1C.同理可得 ON平面 BB1C1C.又 MNONN，所以平面 MON平面 BB1C1C.而 OM平面 MON，所以 OM平面 BB1C1C.二平面与平面平行的判定与性质【例 2】如图，三棱柱 ABCA1B1C1，D 是 BC上一点，且 A1B平面 AC1D，D1 是 B1C1 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.【证明】连接 A1C 交 AC1 于点 E.因为四边形 A1ACC1 是平行四边形，所以 E 是 A1C 的中点连接 ED.因为 A1B平面 AC1D，平面 A1BC平面 AC1DED，所以 A1BED.因为 E 是 A1C 的中
9、点，所以 D 是 BC 的中点又因为 D1 是 B1C1 的中点，所以 BD1C1D，A1D1AD.又 A1D1BD1D1，所以平面 A1BD1平面 AC1D.【点评】证明面面平行的常用方法：面面平行的定义；面面平行的判定定理；两个平面同时与第三个平面平行，则这两个平面平行 如右图，在正四棱柱 ABCDABCD中，AB1，BB 31，E 为 BB上使 BE1 的点，平面 AEC交 DD于 F，交 AD的延长线于 G，则异面直线 AD 与 CG 所成角的大小为 6.素材2【解析】如右图，连接 CF，由 ADDG，知CGD为异面直线 AD 与 CG 所成的角 因为 AE 和 CF 分别是平行平面
10、ABBA和平面DCCD与平面 AEG 的交线，所以 AECF，从而 DFBE 3.再由FDGFDA，可得 DG 3.在 RtCDG 中，CD1，DG 3，得 tanCGDCDDG 33，故CGD6.三平行问题探究【例 3】如图，四棱柱 PABCD 的底面是边长为 a的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，侧面 PBC 内有 BEPC于 E，且 BE 63 a，试在 AB 上找一点 F，使 EF平面 PAD.【解析】在平面 PCD 内作 EGPD 于 G，连结 AG.因为 PA底面 ABCD，CDAD，所以 CD平面 PAD，所以 CDPD，所以 CDEG，又因为 ABCD，所以 EGAB.若有 E
11、F平面 PAD，则 EFAG，所以四边形 AFEG 为平行四边形，EGAF.因为CEa2 63 a2 33 a，且PBC为直角三角形，所以 BC2CECPCP 3a，AFABEGCDPEPC3a 33 a3a23.故 AFFB21 时，EF平面 PAD.【点评】本题为立体几何中开放式的探究问题，可以以相关定义、定理为依据，通过题设和图形的结构特征、性质去作辅助线，从而探究出问题的结果 备选例题如图所示，在正方体 AC1 中，E、F、G、H 分别是 BC、CC1、C1D1、A1A 的中点，求证：(1)BFHD1；(2)EG平面 BB1D1D；(3)平面 BDF平面 B1D1H.(3)由(1)知
12、D1HBF，又 BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面 BDF，且 B1D1HD1D1，DBBFB，所以平面 BDF平面 B1D1H.1()()2()(1)2平行关系的转化方法解决线面平行、面面平行，要切实把握转化的思想方法线线平行线面平行面面平行判定线面平行的方法证明直线和平面平行依据定义采用反证法；判定定理法 线线平行线面平行；面面平行的性质 面面平行线面平行 证明平面和平面平行定义法 依据定义采用反证法；判定定理 线面平行面面平行 1/3/.2./.aaaaamaama mabaaaba baa 正确运用直线、平面平行的性质直线与平面平行的性质运用已知直线，平面，若，则 与 没有公共点；已知直线、，平面、，若，则平面与平面平行的性质运用已知直线，平面、，若与 没有公共点；若，；若，；若，