1、4.5 函数的应用(二)4.5.1 函数的零点与方程的解 第四章 指数函数与对数函数 学 习 任 务核 心 素 养1理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点)2会求函数的零点(重点)3掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数(难点)1借助零点的求法,培养数学运算和逻辑推理的素养2借助函数的零点同方程根的关系,培养直观想象的数学素养.情境导学探新知 NO.1请观察下图,这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被不小心擦掉了,现在有人想了解一下当天 7 时到 11 时之间有无可能出现温度是0 摄氏度,你能帮助他吗?知识点1 函
2、数的零点(1)函数的零点对于函数yf(x),把使_叫做函数yf(x)的零点f(x)0的实数x1.函数的零点是函数与x轴的交点吗?提示 不是函数的零点不是一点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标(2)方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)0有实数解函数yf(x)的图象与_有公共点函数yf(x)有_x轴零点A 由2x10得x12.1.函数y2x1的零点是()A12 B12,0 C0,12D2D 结合函数零点的定义可知选项D没有零点2.下列各图象表示的函数中没有零点的是()A B C D知识点2 函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条_的曲线,且有_,那么,函数y
3、f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c(a,b),使得_,这个c也就是方程f(x)0的解连续不断f(a)f(b)0f(c)0(1)定理要求具备两个条件:函数在区间a,b上的图象是连续不断的;f(a)f(b)0.两个条件缺一不可(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数2.函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,f(a)f(b)0,则f(x)在a,b内无零点()(2)若f(x)在a,b上为单调函数,且f(a)f(b)0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点()(3)若f(x)在(a,b)内有且只有一个零点,则f(a)f(b)0的零点;(
4、2)已知函数f(x)axb(a0)的零点为3,求函数g(x)bx2ax的零点解(1)当 x0 时,令 x22x30,解得 x3;当 x0 时,令2ln x0,解得 xe2.(2)由已知得 f(3)0,即 3ab0,即 b3a.所以函数 f(x)x22x3,x02ln x,x0的零点为3 和 e2.故 g(x)3ax2axax(3x1)令 g(x)0,即 ax(3x1)0,解得 x0 或 x13.所以函数 g(x)的零点为 0 和13.函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)0的实数根(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)0,可以将它与函数yf(x)的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐
5、标即为函数的零点跟进训练1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出;否则,请说明理由(1)f(x)x27x6;(2)f(x)1log2(x3);(3)f(x)2x13;(4)f(x)x24x12x2.解(1)解方程f(x)x27x60,得x1或x6,所以函数的零点是1,6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0,得x1,所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130,得xlog26,所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)x24x12x20,得x6,所以函数的零点为6.类型2 零点个数的判断【例2】(对接教材P143例题)判断下列函数零点的个数:(1)f(x)(x24)log2
6、x;(2)f(x)x21x;(3)f(x)2xlg(x1)2.解(1)令 f(x)0,得(x24)log2x0,因此 x240 或 log2x0,解得 x2 或 x1.又因为函数定义域为(0,),所以 x2 不是函数的零点,故函数有 2 和 1 两个零点(2)法一:令 f(x)x21x0,得 x21x,即 x31,解得 x1,故函数 f(x)x21x只有一个零点法二:令f(x)x21x 0,得x21x,设g(x)x2(x0),h(x)1x,在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点(3)法一:f(0)10210,f(x)0
7、在(0,2)上必定存在实根又f(x)2xlg(x1)2在区间(1,)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点法二:令h(x)22x,g(x)lg(x1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示由图象知g(x)lg(x1)和h(x)22x的图象有且只有一个公共点,即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点判断函数零点个数的常用方法(1)直接法:解方程f(x)0,方程f(x)0解的个数就是函数f(x)零点的个数(2)图象法:直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数(3)f(x)g(x)h(x)0,得g(x)h(x),在同一平面直角坐标系中作出
8、y1g(x)和y2h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数yf(x)零点的个数跟进训练2已知0a1,则函数ya|x|logax|的零点的个数为()A1 B2 C3 D4B 函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数,也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数画出函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象,如图所示,观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2,从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2.类型3
9、判断函数零点所在的区间【例3】(1)函数f(x)ln(x1)2x的零点所在的大致区间是()A(3,4)B(2,e)C(1,2)D(0,1)(2)根据表格内的数据,可以断定方程 exx30 的一个根所在区间是()x10123ex0.3712.727.3920.08x323456A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)结合零点存在性定理思考怎样判定函数在区间(a,b)内存在零点?(1)C(2)C(1)因为f(1)ln 2210,且函数f(x)在(0,)上单调递增,所以函数的零点所在区间为(1,2)故选C.(2)构造函数 f(x)exx3,由上表可得 f(1)0.3721.630,f(0)1
10、320,f(1)2.7241.280,f(3)20.08614.080,f(1)f(2)0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选 C.判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点跟进训练3若函数f(x)xax(aR)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是()A2B0 C1D3A f(x)xax(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a2时,f(1)1210.故f(x)在区间
11、(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合,选A.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 B 方程2x23x10的两根分别为x11,x212,所以函数f(x)2x23x1的零点是12,1.1函数f(x)2x23x1的零点是()A12,1B12,1C12,1D12,11 2 3 4 5 B f(1)2310,f(1)f(2)0,即f(x)的零点所在的区间为(1,2)2函数f(x)2x3的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)1 2 3 4 5 D 函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续,故尽管f(1)f(3)0,但方程f(x)0在(1,3)上可能无实数解3对于函
12、数f(x),若f(1)f(3)0得二次函数yax2bxc有两个零点4二次函数yax2bxc中,ac0,则函数有_个零点5 1 2 3 4 12 由f(1)231a0得a12.5若函数f(x)23x1a的零点是1,则实数a_.回顾本节知识,自我完成以下问题:1函数的零点、相应方程的根及图象之间存在怎样的内在联系?提示 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:2函数零点存在定理满足的条件有哪些?提示 定理要求具备两条:函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线;f(a)f(b)0.3探求函数零点个数的方式有哪些?提示 直接解方程法;图象交点个数法;定理法点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!