1、掌握两直线平行与垂直的条件、点到直线的距离公式、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，会求两相交直线的交点坐标和两平行直线间的距离，能把握对称的实质，并能应用对称性解题 1111112222221212211212211212122112121200.1/_0(0)2_.30.14lyk xbA xB yClyk xbA xB yCllbbA CACB CB CllllA BA Bllkkbb平面内的两条直线的位置若直线：或；直线：或且或且或或与 相交与 重合且关系12211221122100(0)A BA BACA CB CB C或且或 000000112212()0
2、10.20.3_.00_.2_P xylAxByCAxByCAxByCdlAxByClAxByClld设点，直线：，则点在直线上：点在直线外：点到直线的距离特别地，若：，：，则 与 间的距点与直线的位置关系离 000,000000001()()2200()()2()3(P xyM abPMPPPaxbyabP xyPxyP xylykxbP xyPPlPPl 中心对称：求，关于点，对称的点 的基本方法是转化为是线段的中点求，即特例：当，时，关于原点的对称点为，轴对称：求已知点，关于已知直线：的对称点，的基本方法是转化为求方程组的解，即由线段的中心对称与轴对中点p称.12567010()()()
3、()()()_.()()()()()()kbP xyxyP xyPxyP xyyxyxP xyyxbyxbP ybxbPybxbP xyxaybP 特例：当，或时，分别有以下规律：，关于 轴、轴对称的点分别为，关于直线，对称的点分别为，关于直线，对称的点分别为，关于直线，对称的点分别为8(2),21,0axyP xbyk，注意：当时，不具有上述规律 1(24)0CF xyfCCCfCCC曲线：，经过上述规律进行变换，得曲线，则为 关于 对称的曲线若 的方程与 的方程相同，则证明曲线自身具有对称变换对称性()0()0()0()0()0()0()0()0()(2)0CF xyxyCF xyFxyF
4、xyyxyxyxbyxbCF yxFyxF ybxbFybxbxaybM abCFaxyF 特例：曲线：，关于 轴、轴、原点对称的曲线的方程分别为，；关于直线，对称的曲线的方程分别是，；关于直线，点，对称的曲线的方程分别为，,202,20.xbyFaxby，1212211212120120003401|00|022|12222()()kkA BA Bk kAxByCA AB BAByyCCkxxAByyxxkbP yxPyx ；【要点指南、，】，1.如果直线 l1：ax2y10 与直线 l2：xy20互相垂直，那么 a 的值等于()A1B13C23D2【解析】方法 1：由 l1l2A1A2B1
5、B20，求得 a2.方法 2：若两直线垂直且斜率存在，则 k1k21，即(a2)(1)1，得 a2.2.过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20Dx2y10【解析】过点(1,0)且斜率为12的直线方程为 y12(x1)，即 x2y10.3.不等边ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数列，则直线xsin2AysinAa与直线xsin2BysinCc的位置关系是()A平行B垂直C重合D相交但不垂直【解析】因为 lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数列，所以 s
6、in2BsinAsinC.由正弦定理可知，sin2Asin2Bsin2AsinAsinCsinAsinCac，故两直线位置关系是重合，故选 C.4.直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是 x2y30.【解析】由已知及对称几何性质可设所求直线的方程为 x2y0.又由x1x2y10，得点 A(1,1)又点 A 在直线 x2y0 上，从而3，故对称的直线方程为 x2y30.5.方程 3x4y2(2xy2)0 表示的图形恒过定点(2,2).【解析】由3x4y202xy20，解得x2y2，即方程 3x4y2(2xy2)0 表示的图形恒过点(2,2)一 两条直线的位置关系【例 1】已知两条直线
7、 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a、b 的值(1)l1l2，且 l1 过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等【解析】(1)由已知可得 l2 的斜率必存在，所以 k21a.若 k20，则 1a0，a1.因为 l1l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b0.又因为 l1 过点(3，1)，所以3ab40，即 b3a410(不合题意)，所以此种情况不存在，即 k20.若 k20，即 k1、k2 都存在因为 k21a，k1ab，l1l2，所以 k1k21，即ab(1a)1.又因为 l1 过点(3，1)，所以3ab40.由联立，解得 a
8、2，b2.(2)因为 l2 的斜率存在，l1l2，所以直线 l1 的斜率存在，所以 k1k2，即ab(1a)又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，所以 l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb，则联立解得a2b2 或a23b2，所以 a、b 的值分别为 2 和2 或23和 2.【点评】在运用直线的斜截式 ykxb 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况运用直线的一般式AxByC0 时，要特别注意 A、B 为零时的特殊情况另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究 已知两直线 l1：m
9、x8yn0 和 l2：2xmy10，试确定 m、n 的值，使：(1)l1l2；(2)l1l2 且 l1 在 y 轴上的截距为1.素材1【解析】(1)由 mm820，得 m4.由 8(1)nm0，得m4n2 或m4n2，即 m4，n2 时，或 m4，n2 时，l1l2.(2)当且仅当 m28m0，即 m0 时，l1l2.又n81，所以 n8，即 m0，n8 时，l1l2 且 l1 在 y 轴上的截距为1.二 有关距离问题【例 2】已知点 P(2，1)(1)求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？【分析】设出直线方程
10、，利用点到直线的距离公式求出系数即可【解析】(1)当 l 的斜率 k 不存在时显然成立，此时 l 的方程为 x2.当 l 的斜率 k 存在时，设 l：y1k(x2)，即 kxy2k10，由点到直线的距离公式得，|2k1|1k2 2，解得 k34，所以 l：3x4y100.故所求 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)数形结合可得，过点 P 且与原点 O 距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线由 lOP，得 klkOP1，所以 kl 1kOP2.由直线方程的点斜式得直线 l 的方程为 y12(x2)，即 2xy50，即直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 距离最大的直线，
11、最大距离为|5|5 5.【点评】1.点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握 2点到几种特殊直线的距离：(1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d|y0|；(2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d|x0|；(3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 ya 的距离d|y0a|；(4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 xb 的距离d|x0b|.在直线 x3y0 上求一点 P，使它到原点的距离与到直线 x3y20 的距离相等素材2【解析】设点 P 的坐标为(3t，t)，则 3t2t2|3t3t2|1232，解得 t15，所以点 P 的坐标为(35，
12、15)或(35，15)三 两直线的交点问题【例 3】求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x4y50垂直的直线 l 的方程【分析】求 l 的方程：思路一：求交点，定斜率，用点斜式求解思路二：利用直线系方程求解【解析】方法 1：由方程组x2y40 xy20，解得x0y2，即 P(0,2)因为 ll3，所以 kl43，所以直线 l 的方程为 y243x，即 4x3y60.方法 2：因为直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点，所以可设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为 l 与 l3 垂直，所以 3(1)(4)(2)0
13、，所以 11，所以直线 l 的方程为 12x9y180，即 4x3y60.【点评】求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线的交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 有交点，则过l1 与 l2 交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为待定常数，不包括直线 l2)，设出方程后再利用其他条件求解 求经过直线 l1：3x4y50 和直线 l2：2x3y80 的交点 A，且分别满足下列条件的直线方程：(1)过点(1,1)；(2)与直线 2xy50
14、 平行；(3)与直线 2xy50 垂直素材3【解析】由3x4y502x3y80，解得x1y2，即两直线的交点坐标为 A(1,2)(1)直线的斜率为 k 211112.由点斜式得直线方程为 y1(12)(x1)，即 x2y30.(2)设所求直线方程为 2xym0.将点 A(1,2)代入，得 m(2)(1)20，即所求直线方程为 2xy0.(3)设所求直线方程为 x2yn0.将点 A(1,2)代入，得 n22(1)5，即所求直线方程为 x2y50.四 对称问题【例 4】求直线 l1：2xy40 关于直线 l：xy20对称的直线 l2 的方程【解析】方法 1：解方程组2xy40 xy20，得直线l1
15、 与直线 l 的交点 A(23，83)在直线 l1 上取一点 B(2,0)，设点 B 关于直线 l 对称的点为 C(x，y)，则x22 y220yx21，解得x2y4，即 C(2,4)又直线 l2 过 A(23，83)和 C(2,4)两点，故由两点式得直线 l2 的方程为y4834x2232，即 x2y60.方法 2：设 M(x0，y0)是直线 l1 上任意一点，它关于直线 l 的对称点为 N(x，y)，则线段 MN 的中点坐标为(xx02，yy02)，直线 MN 的斜率为yy0 xx0.由题意，得xx02yy0220yy0 xx01，解得x0y2y0 x2.因为 M(x0，y0)是在直线 l
16、1 上，所以 2x0y040，即 2(y2)(x2)40.所以直线 l2 的方程为 x2y60.【点评】由平面几何知识知，若直线 l1、l2 关于直线 l 对称，则有如下性质：若直线 l1 与直线 l 相交，则交点在直线l2 上；若 B 在直线 l1 上，则其关于直线 l 的对称点 C 在直线 l2 上本题方法 1 就是利用上述两条性质，找出确定直线 l2 的两个点(直线 l1 与直线 l 的交点 A 和直线 l1上的特殊点 B 关于直线 l 的对称点)，由两点式得到直线 l2 的方程；方法 2 则是用运动的观点，直接求轨迹方程把握两点：线段 MN 的中点在直线 l 上，直线 l 与直线 MN
17、 垂直 求直线 l：2x3y10 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程素材4【解析】因为 ll，所以可设 l的方程为 2x3yC0(C1)，因为点 A(1，2)到两直线 l，l的距离相等，所以|26C|2232|261|2232，得 C9，所以 l的方程为 2x3y90.备选例题已知 n 条直线，l1：xyC10，C1 2，l2：xyC20，l3：xyC30，ln：xyCn0(其中C1C2C3Cn)，这 n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为 2、3、4、n.(1)求 Cn；(2)求 xyCn0 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积；(3)求 xyCn10 与 xyCn0 及 x
18、轴、y 轴围成图形的面积【解析】(1)原点 O 到 l1 的距离为 1，原点 O 到 l2 的距离为 12，原点 O 到 ln 的距离 dn 为 12nnn12，因为 Cn 2dn，所以 Cn 2nn12.(2)设直线 ln：xyCn0 交 x 轴于 M，交 y 轴于 N，则OMN 的面积SOMN12|OM|ON|12C2nn2n124，所以 Snn2n124(nN*)(3)所围成的图形是等腰梯形，由(2)Snn2n124知 Sn1n12n24，所以 SnSn1n2n124n12n24n3.故所求面积为 n3(n2，nN*)12221|2CCdABxy判断两直线平行或垂直时，不要忘记两条直线中
19、有一条或两条直线均无斜率的情形另外，两直线斜率相等，包括平行或重合两种情况，应注意区分在运用公式求两平行直线间的距离时，一定两直线平行与垂要把，项直的判定两平行线间的距相应系数化成离相等的系数 11112222121112221221220000100.0()/2()3/lA xB yClA xB yCllA xB yCA xB yCllllllxyyyk xx直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程设：，：若与 相交，则方程表示过 与 交直线系问点的直线系 不包括；若，则上述形式的方程表示与 平行的直线系过定点，的旋转直线系方程为题000()()()kxxkyk xb bRR不包括直线，斜率为 的平行直线系方程为 14().2()1.xxyy关于对称问题，有如下规律：中心对称 关于某个点对称解题方法：中点坐标公式特殊地，关于原点对称，是以代换，以代换轴对称 关于某直线对称斜率之积等于解题方法：中点在对称轴对称问题上关于