1、2011年高三冲刺阶段解答题训练题集5数列部分一、 理科数列解答题及参考答案1、已知实数列等比数列,其中成等差数列.()求数列的通项公式;()数列的前项和记为证明: 128).1、解：（）设等比数列的公比为，由，得，从而，因为成等差数列，所以，即，所以故（）2（本小题满分12分） 数列 （I）求数列；（II）求数列解：（I）解法一：， 当， 解法二： 当时，得 故 ， 当； 当， ， 得： 又也满足上式， 3、设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和解：(I)验证时也满足上式，(II) ， ， 4、已知函数的图象经过点和，记（1） 求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）
2、（理）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得， ， （2）由（1）得， -得 . ， 设，则由得随的增大而减小时， 又恒成立，9分 （3）（理）由题意得恒成立 记，则12分是随的增大而增大 的最小值为，即.5、数列中，=1，（n=1,2,3）（）求，；（）求数列的前n项和；解：（），=，=. （）=,2=,=2，是首项为，公比为2的等比数列.=. 6、已知数列满足，且（1）求数列的通项公式；(2) 证明；（3）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。解：（1）由得 由一元二次方程求根公式得 (2) （3）解法1： ,，即数列有最大项，最大项为第
3、一项.解法2：由知数列各项满足函数当时，当时，即函数在上为减函数即有数列有最大项，最大项为第一项.7、已知数列是首项为，公比的等比数列，是其前项和，且成等差数列。（1）求公比的值；（2）设，求。解：（1）成等差数列， （2） 8、已知数列的各项均为正数，且满足，推测并证明的通项公式。解：由得， ，推测下面用数学归纳法证明之：10 当时，已证明成立。20 假设当所以，当时，结论也成立综上所述，对，9、已知Sn是数列的前n项和，且 （）求数列的通项公式； （）设，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 解：（）当时，由已知 得 ，得 所以
4、数列 是一个以2为首项，2为公比的等比数列 ( )（） n是正整数， 数列Tn是一个单调递增数列，又，要使 恒成立，则 又k是正整数，故存在最大正整数 k=5使 , 恒成立 10.在数列中中，（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立（1）解：由，可得， 所以为等差数列，其公差为1，首项为1，故， 所以数列的通项公式为（）解：设， 式减去式，得， 所以数列的前项和为 （）证明：是单调递减的， 因此，存在，使得对任意均成立11.在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立 （）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为以下用数学
5、归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由知，要使式成立，只要，因为所以式成立因此，存在，使得对任意均成立12已知首项不为零的数列的前项和为，若对任意的、，都有. （）判断是否为等差数列，并证明你的结论；（）若，数列的第项是数列的第项，求.（）求和.解：（）是等差数列，证明如下： ，令，由得 即. 时，且时此式
6、也成立. ，即是以为首项，2为公差的等差数列.（）时，由（）知，依题意，时，又，是以2为首项，2为公比的等比数列， 即. （） 即 两式相减，可以求得13、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数列的通项公式（2）令求数列的前项和解：（1）由已知得解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得由题意得故数列的通项为（）（2）由于由（1）得又是等差数列故14、已知数列，设，数列。 （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n项和Sn； （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）由题意知，数列的等差数列（2）由（1）知， 于是两式相减得 （3）当n=1
7、时，当当n=1时，取最大值是又即 15 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数m解：（）设这二次函数，则，由，得， 所以又因为点均在函数的图像上，所以当时，当时，所以（）（）由（）得知，故（1）.因此，要使（）0且b1。(1)求数列的通项an；(2)若对4，试求b的取值范围。解：(1)由已知条件得当n=1时，故(2)由 10（1）（2）（3）解：（1）（2）得11已知无穷数列an,Sn是其前n项和,对不小于2的正整数n,满足关系。(1)求a1，a2，a3；（2）证明an是等比数
8、列;（3）设计算解：（1）S2= （2）证：对 n2, 1-Sn=an-1-an1- Sn+1=an-an+1 两式相减,有 12已知a0，a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（nN）。（1）求数列bn的前n项和Sn；（2）当数列bn中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.解：（1）由题意知an=an，bn=nanlga. Sn=（1 a+2 a2+3 a3+n an）lga.a Sn=（1 a2+2 a3+3 a4+n an+1）lga.以上两式相减得（1a）Sn=（a+a2+a3+ann an+1）lga .a1，.（2）由bk+1bk=(k+1)ak
9、+1lgakaklga=aklgak(a1)+a.由题意知bk+1bk0，而ak0，lgak(a1)+a0. （1）若a1，则lga0，k(a1)+a0，故a1时，不等式成立；（2）若0a1，则lga 0)，其前n项和为S。（1）写出数列的通项公式及前n项和Sn的公式；（2）设，写出bn关于x和n的表达式；（3）判断数列bn的增减性； 解：（1）（2）（3）当；当n1时，综上知为递减数列。15数列中，前n项和其中a,b是常数，且a0,a+b1,nN.（1）求的通项公式，并证明；（2）令，试判断数列中任意相邻两项的大小.解：（1）当n=1时也能满足上式，（2）由（1）及对数的性质可得数列中各项皆
10、为正值又，.16已知数列，前n项和为，对于任意总成等差数列。（1）求的值；（2）求通项解：（1）当n2时，成等差数列；，类似地 （2）当n2时，即得 为常数，成等比数列.；其中故17已知数列an满足a12，对于任意的nN，都有an0，且(n1)aanan1na0，又知数列bn:b12n11。(1)求数列an的通项an以及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；(3)试验Sn和Tn的大小关系(不需要证明 )解： 。 ，。即。，又，。，。当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，。猜想：当时，。18已知，比较与的大小。试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式恒成立。解：（1）f(n+1)-f(n)=S2n+3-Sn+2-(S2n+1-Sn+1)=0，f(n+1)f(n)。（2）f(n+1)f(n)，当n1时，f(n)的最小值为f(2)=S5-S3=必需且只须1且m2令t=则不等式等价于，解得：0t1即01，即-1logm(m-1)0或0logm(m-1)1，解之得：。
