1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 等比数列及其前n项和基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1等比数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母 q(q0)表示数学语言表达式：anan1(n2，q 为常数)，或an1an q(nN*，q 为常数)2同一个公比q基础诊断考点突破课堂总结2.等比数列的通项公式及前 n
2、 项和公式(1)若等比数列an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为an；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，Snna1；当 q1时，Sn a11qn 1q a1anq1q.a1qn1基础诊断考点突破课堂总结3等比数列及前n项和的性质(1)如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列.(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akal.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为.(4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2
3、n仍成等比数列，其公比为.a，G，bG2abamanqmqn基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()基础诊断考点突破课堂总结(3)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sna1an1a.()(4)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8 成等比数列()基础诊断考点突破课堂总结2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则 a1a10 等于()A7 B5 C5 D7解析 法一 由题意得a4a7a1q3a1q62，a
4、5a6a1q4a1q5a21q98，q32，a11或q312，a18，a1a10a1(1q9)7.基础诊断考点突破课堂总结法二 由a4a72，a5a6a4a78，解得a42，a74或a44，a72.q32，a11或q312，a18，a1a10a1(1q9)7.答案 D基础诊断考点突破课堂总结3(2014大纲全国卷)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A31 B32 C63 D64解析 由等比数列的性质得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C.答案 C基础诊断考点突破课堂总结4(2014广东卷)等比数列an的各项均为正数，且 a1a
5、54，则 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.解析 由等比数列的性质知 a1a5a2a4a234a32，所以log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2a535log225.答案 5基础诊断考点突破课堂总结5(人教 A 必修 5P54A8 改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_解析 设该数列的公比为 q，由题意知，2439q3，q327，q3.所以插入的两个数分别为 9327,27381.答案 27,81基础诊断考点突破课堂总结考点一 等比数列中基本量的求解 【例
6、1】(1)在等比数列an中，a42，a716，则 an_.(2)在等比数列an中，a2a518，a3a69，an1，则n_.(3)设an是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和已知 a2a41，S37，则 S5 等于()A.152B.314C.334D.172基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由a7a4q38，知 q2，所以 ana4qn422n42n3.(2)因为 a3a6q(a2a5)，所以 q12，由 a1qa1q418，知 a132，所以 ana1qn11，解得 n6.(3)显然公比 q1，由题意得a1qa1q31，a11q31q7，基础诊断考点突破课堂总结解得 a14，q12或
7、a19，q13(舍去)，S5a11q51q41 125112314.答案(1)2n3(2)6(3)B基础诊断考点突破课堂总结规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】在等比数列an中，a2a12，且 2a2 为 3a1 和 a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前 n 项和解 设该数列的公比为 q，由已知可得 a1qa12,4a1q3a1a1q2，所以 a1(q1)2，q24q30，解得 q3 或 q1.由于 a1(q1)2，因此 q1 不合题意，应舍
8、去故公比 q3，首项 a11.所以数列的前 n 项和 Sn3n12.基础诊断考点突破课堂总结考点二 等比数列的性质及应用 【例 2】(1)公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116，则 log2a10()A4 B5 C6 D7(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S33，则S9S6()A2 B.73 C.83D3基础诊断考点突破课堂总结解析(1)法一 由等比中项的性质得 a3a11a2716，又数列an各项为正，所以 a74.所以 a10a7q332.所以 log2a105.法二 设等比数列的公比为 q，由题意知，an0，则 a3a11a27a10q3 2126a
9、21024，所以 a210210，解得 a1025.故 log2a105.基础诊断考点突破课堂总结(2)由等比数列的性质得：S3，S6S3，S9S6 仍成等比数列，于是，由已知得 S63S3，S6S3S3S9S6S6S3，即 S9S64S3，S97S3，S9S673.答案(1)B(2)B基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.基础诊断考点突破课堂总结【训练
10、2】(1)已知 x，y，zR，若1，x，y，z，3 成等比数列，则 xyz 的值为()A3 B3 C3 3D3 3(2)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6 等于()A5 2B7 C6 D4 2基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由等比中项知 y23，y 3，又y 与1，3 符号相同，y 3，y2xz，所以 xyzy33 3.(2)把 a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5，a4a5a6，a7a8a9 各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列的第 1 项、第 4 项和第7 项，这里的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项因为数列a
11、n的各项均为正数，所以 a4a5a6 a1a2a3a7a8a95105 2.答案(1)C(2)A基础诊断考点突破课堂总结考点三 等比数列的判定与证明【例3】(2015金华十校联考)已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式基础诊断考点突破课堂总结深度思考 若本题除去第1问后如何求bn？在这里给大家介绍一种方法：构造法，如本例中构造等比数列an1.(1)证明 anSnn，an1Sn1n1.得 an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，基础诊断考点突破课堂总结an11
12、an1 12，an1是等比数列又 a1a11，a112，首项 c1a11，c112，公比 q12.又 cnan1，cn是以12为首项，以12为公比的等比数列基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)可知 cn12 12n112n，ancn1112n.当 n2 时，bnanan1112n112n1 12n112n12n.又 b1a112代入上式也符合，bn12n.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 证明数列an是等比数列常用的方法：一是定义法，证明 anan1q(n2，q 为常数)；二是等比中项法，证明 a2nan1an1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法基础诊断考点
13、突破课堂总结【训练 3】成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等比数列bn中的 b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn54 是等比数列基础诊断考点突破课堂总结(1)解 设成等差数列的三个正数分别为 ad，a，ad，依题意，得 adaad15，解得 a5.所以bn中的 b3，b4，b5 依次为 7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得 d2 或 d13(舍去)故bn的第 3 项为 5，公比为 2，由 b3b122，即 5b122，解得 b154.所以bn是以54为首项，2 为公
14、比的等比数列，其通项公式为 bn542n152n3.基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 数列bn的前 n 项和 Sn5412n12 52n254，即 Sn5452n2.所以 S15452，Sn154Sn5452n152n22.因此Sn54是以52为首项，2 为公比的等比数列基础诊断考点突破课堂总结考点四 等比数列前 n 项和的综合应用 【例 4】(2012山东卷)在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意 mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm，求数列bm的前 m 项和 Sm.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由 a3a4a
15、584，可得 3a484，即 a428，而 a973，则 5da9a445，即 d9.又 a1a43d28271，所以 an1(n1)99n8，即 an9n8(nN*)(2)对任意 mN*,9m9n892m，则 9m89n92m8，即 9m189n92m189，而 nN*，所以 9m11n92m1.由题意，可知 bm92m19m1.于是 Smb1b2bm919392m1(90919m1)992m1192 19m19 92m1980 9m1892m1109m180，即 Sm92m1109m180.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 本题第(2)问设置了落入区间内的项构成新数列，这是对考生数学能力的
16、挑战，由通项公式及已知区间建立不等式求项数，进而得到所求数列bm的通项公式是解答该问题的核心与关键基础诊断考点突破课堂总结【训练4】(2013湖北卷)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由基础诊断考点突破课堂总结解(1)设数列an的公比为 q，则 a10，q0.由题意得S2S4S3S2，a2a3a418.即a1q2a1q3a1q2，a1q1qq218，解得a13，q2.故数列an的通项公式为 an3(2)n1.基础诊断考点突破
17、课堂总结(2)由(1)有 Sn312n121(2)n.若存在 n，使得 Sn2 013，则 1(2)n2 013，即(2)n2 012.当 n 为偶数时，(2)n0.上式不成立；当 n 为奇数时，(2)n2n2 012，即 2n2 012，则 n11.综上，存在符合条件的正整数 n，且所有这样的 n 的集合为n|n2k1，kN，k5.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，a2n，1an也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.基础诊断考点突破课堂总结2判断数列为等比数列的方法(1)定义法：an1an q(q 是不等于 0 的常数，nN*)
18、数列an是等比数列；也可用 anan1q(q 是不等于 0 的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n 的初始值不同(2)等比中项法：a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列基础诊断考点突破课堂总结易错防范1特别注意 q1 时，Snna1 这一特殊情况2由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a10.3在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n 未必成等比数列(例如：当公比 q1且 n 为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n 不成等比数列；当 q1 或 q1 且 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n 成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.