1、要点导学 各个击破 复数的概念及四则运算法则 实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?思维引导复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.解答z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.由mR,可知z的实部为m2+5m+6,虚部为m2-2m-15.(1)要使z为实数,必有2-2-150,mmmR所以m=5或m=-3.(2)要使z为虚数,必有m2-2m-150,所以m5且m-3.(3)要使z为纯虚数,必有22560
2、,-2-150,mmmm 即-3-2,-35,mmmm或且所以m=-2.精要点评按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a,bR)的形式,明确复数的实部与虚部,由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的是解决问题的关键.(2014苏北四市期末)设复数z1=2-i,z2=m+i(mR,i为虚数单位),若z1z2为实数,则m的值为 .答案2 解析因为z1z2=(2-i)(m+i)=2m+1+(2-m)i且z1z2为实数,所以2-m=0,m=2.(2014泰州期末)若复数(1+i)2=a+bi(a,b是实数,i是虚数单位)
3、,则a+b的值为 .答案2 解析(1+i)2=2i=a+bi,根据复数相等的定义,则有a=0,b=2,所以a+b=2.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1z2是实数,求z2.思维引导两个复数的和是一个实数,则和的虚部为0,从而可以待定系数,进一步求解复数z2.解答由(z1-2)(1+i)=1-i,解得z1=2-i.设z2=a+2i,aR,则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.因为z1z2R,所以a=4,所以z2=4+2i.精要点评正确使用复数的四则运算求解z1是解决本题的关键.(2014苏州期末)设i为虚数单位,则(
4、1+2i)(1-i)2=.答案4-2i 解析(1+2i)(1-i)2=-2i(1+2i)=4-2i.(2014南京学情调研)已知复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),那么|z|=.答案2 解析方法一:因为iz=1+i,所以z=1ii=1-i,故|z|=221(-1)=2.方法二:因为iz=1+i,所以|iz|=|1+i|,即|z|=2.复数的几何意义 设zC,若z2为纯虚数,求z在复平面上对应的轨迹方程.思维引导因为z2为纯虚数,所以z2的实部为0,且虚部不为0.解答设z=x+yi(x,yR),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.因为z2为纯虚数,所以22-0,0,xyxy 所以所
5、求轨迹方程为y=x(x0).精要点评要求z在复平面上对应点的轨迹方程,即求z的实部和虚部满足的关系式.求满足等式|z-i|+|z+i|=3的复数z对应的点的轨迹.解答因为|z-i|+|z+i|=3,故由复数模的几何意义得z的对应点到定点(0,1)与(0,-1)的距离之和为3,满足椭圆的定义,所以复数z的对应点的轨迹为椭圆.已知复数z1=sin 2x+ti,z2=m+-32mcos x i(i为虚数单位,t,m,xR),且z1=z2.(1)若t=0,且0 x,求x的值;(2)设t=f(x),已知当x=时,t=12,求cos43的值.规范答题(1)因为z1=z2,所以2,-32.sin xmtmc
6、os x 所以t=sin 2x-3 cos 2x.(2分)若t=0,则sin 2x-3 cos 2x=0,得tan 2x=3.(4分)因为0 x,所以02x2.所以2x=3或2x=43,得x=6或x=23.(6分)(2)t=f(x)=sin 2x-3 cos 2x=2sin2-3x .(8分)当x=时,t=12,即2sin2-3=12,所以sin2-6 2 =14.所以-cos26=14,所以cos26=-14.(10分)所以cos43=2cos226-1=221-4-1=-78.(14分)精要点评理解两复数相等的充分必要条件即可以将本题转化为函数问题.1.21 2(1-)ii=.答案-1+12 i 2.复数(1+2i)2的共轭复数是 .答案-3-4i 3.若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应点的坐标是 .答案(4,-2)4.(2014扬州期末)在复平面内,复数52ii对应的点位于第 象限.答案一 解析因为52ii=5(2-)5ii=1+2i,所以它所对应的点位于第一象限.温馨提醒 趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第73-74页).
