1、备战2019中考初中数学六大题型专项突破专题一:规律探索型问题【方法指导】归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出的与图形有关的操作、变化过程，或是根据已知条件中所提供的若干特例，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的本质规律或者特征，进而类比、归纳或者猜想出一般的结论。在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。解决此类问题的关键是仔细审题、归纳规律、合理推测、认真验证，从而得到出问题的结论。【典例解析】类型一：数字中的规律【例1】（2019山东淄博）（4分）将从1开始的自然数按以下规律排列
2、，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是2019【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是20257=2019；【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，第45行第一个数是2025，第45行、第8列的数是20257=2019，故答案为2019【点评】本题考查规律型数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题类型二：数式中的规律问题：【例2】（2019浙江衢州）（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图
3、形运动叫作图形的（a，）变换如图，等边ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上A1B1C1就是ABC经（1，180）变换后所得的图形若ABC经（1，180）变换后得A1B1C1，A1B1C1经（2，180）变换后得A2B2C2，A2B2C2经（3，180）变换后得A3B3C3，依此类推An1Bn1Cn1经（n，180）变换后得AnBnCn，则点A1的坐标是，点A2019的坐标是 【分析】分析图形的（a，）变换的定义可知：对图形（n，180）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换向右平移n个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作
4、中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数写出几次变换后的坐标可以发现其中规律【解答】解：根据图形的（a，）变换的定义可知：对图形（n，180）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换ABC经（1，180）变换后得A1B1C1，A1 坐标（，）A1B1C1经（2，180）变换后得A2B2C2，A2坐标（，）A2B2C2经（3，180）变换后得A3B3C3，A3坐标（，）A3B3C3经（3，180）变换后得A4B4C4，A4坐标（，）依此类推可以发现规律：An横坐标存在周期性，每3次变换为一个周期，纵坐标为当n=2019时，有20193=672余2所以，A2019横坐标是，纵
5、坐标为故答案为：（，），（，）【点评】本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的（a，）变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究类型三：图形中的规律问题：【例3】（2019山东烟台）（3分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（）A28B29C30D31【分析】根据题目中的图形变化规律，可以求得第个图形中玫瑰花的数量，然后令玫瑰花的数量为120，即可求得相应的n的值，从而可以解答本题【解答】解：由图可得，第n个图形有玫瑰花：4n，
6、令4n=120，得n=30，故选：C【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出题目中图形的变化规律【真题热身】1. （2019湖北宜昌）（3分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）Aa=1，b=6，c=15Ba=6，b=15，c=20Ca=15，b=20，c=15Da=20，b=15，c=62. （2019山东枣庄）（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第
7、5行252423222120191817则2019在第 行3. （2019东营）（4.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，和B1，B2，B3，分别在直线y=x+b和x轴上OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形如果点A1（1，1），那么点A2019的纵坐标是 4. （2019广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）5.
8、（2019广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）按此规律，自然数2019记为 列行第1列第2列第3列第4列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413第n行【参考答案】1. （2019湖北宜昌）（3分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）Aa=1，b=6，c=15Ba=6，b=15，c=20Ca=15，b=20，c=15Da=20，b=15，c
9、=6【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，故选：B【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的2. （2019山东枣庄）（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行252423222120191817则2019在第45行【分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算201
10、9所在的行数，进一步推算得出答案即可【解答】解：442=1936，452=2025，2019在第45行故答案为：45【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题3. （2019东营）（4.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，和B1，B2，B3，分别在直线y=x+b和x轴上OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形如果点A1（1，1），那么点A2019的纵坐标是【分析】因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点A的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半故先设出各点A的纵坐标，可以表示A的横坐标，
11、代入解析式可求点A的纵坐标，规律可求【解答】解：分别过点A1，A2，A3，向x轴作垂线，垂足为C1，C2，C3，点A1（1，1）在直线y=x+b上代入求得：b=y=x+OA1B1为等腰直角三角形OB1=2设点A2坐标为（a，b）B1A2B2为等腰直角三角形A2C2=B1C2=ba=OC2=OB1+B1C2=2+b把A2（2+b，b）代入y=x+解得b=OB2=5同理设点A3坐标为（a，b）B2A3B3为等腰直角三角形A3C3=B2C3=ba=OC3=OB2+B2C3=5+b把A2（5+b，b）代入y=x+解得b=以此类推，发现每个A的纵坐标依次是前一个的倍则A2019的纵坐标是故答案为：【点评
12、】本题为一次函数图象背景下的规律探究题，结合了等腰直角三角形的性质，解答过程中注意对比每个点A的纵坐标变化规律4. （2019广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；，按此作法进行下去，则点An的坐标为（2n1，0）【分析】依据直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），依据规律可得点An的坐标为（2n1，0）【解答】解：直线l为y
13、=x，点A1（1，0），A1B1x轴，当x=1时，y=，即B1（1，），tanA1OB1=，A1OB1=60，A1B1O=30，OB1=2OA1=2，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），点An的坐标为（2n1，0），故答案为：2n1，05. （2019广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）按此规律，自然数2019记为（505，2）列行第1列第2列第3列第4列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413第n行【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列用2019除以4，根据除数与余数确定2019所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列20194=5042，504+1=505，2019在第505行，奇数行的数字从左往右是由小到大排列，自然数2019记为（505，2）故答案为（505，2）【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键第 7 页
