1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第3讲 平面向量的数量积概要课堂小结结束放映返回目录第2页 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)两个向量的夹角的范围是0，2.()(4)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a和 b 的夹角为钝角()(5)abac(a0)，则 bc.()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 平面向量的数量积例 1(1)(2014重庆卷)已知向量 a 与 b 的夹角为 60，且
2、a(2，6)，|b|10，则 ab_(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE CB 的值为_；DE DC 的最大值为_解析 深度思考：对于第(2)题同学们首先想到的方法是什么？这里提醒同学们此题可有三种解法，法一利用定义，法二利用向量的坐标运算，法三利用数量积的几何意义，你不妨试一试(1)由 a(2，6)，得|a|（2）2（6）22 10，故 ab|a|b|cosa，b2 10 10cos 6010.(2)法一 如图，DE CB(DA AE)CBDA CB AE CB DA 21，结束放映返回目录第4页 考点突破考点一 平面向量的数量积DE DC(DA A
3、E)DC DA DC AE DCAE DC|AE|DC|DC|21.(2)法二 如图，以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，（法二图）则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设 E(t，0)，t0，1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DE CB(t，1)(0，1)1.因为DC(1，0)，所以DE DC(t，1)(1，0)t1，故DE DC 的最大值为 1注意t的范围，因为E是AB上的点结束放映返回目录第5页 考点突破考点一 平面向量的数量积(2)法三由图知，无论 E 点在哪个位置，DE 在CB 方向上的投影都是 CB1，DE CB|CB|1
4、1.当 E 运动到 B 点时，DE 在DC 方向上的投影最大 即为 DC1，(DE DC)max|DC|11.答案(1)10(2)11F结束放映返回目录第6页 考点突破规律方法(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补考点一 平面向量的数量积结束放映返回目录第7页【训练 1】(1)已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3，若向量 b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2_(2)已知点 A，B，C 满
5、足|AB|3，|BC|4，|CA|5，则AB BCBC CA CA AB 的值是_解析考点突破(1)b1b2(e12e2)(3e14e2)3e212e1e28e223211cos386.(2)法一 如图，考点一 平面向量的数量积根据题意可得ABC 为直角三角形，且 B2，cosA35，cosC45，AB BC BC CA CA ABBC CA CA AB45cos(C)53cos(A)20cosC15cosA 2045153525.三边满足勾股定理结束放映返回目录第8页【训练 1】(1)已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3，若向量 b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2_(2)已知
6、点 A，B，C 满足|AB|3，|BC|4，|CA|5，则AB BCBC CA CA AB 的值是_考点突破(2)法二易知AB BC CA 0，将其两边平方可得考点一 平面向量的数量积AB 2BC 2CA 22(AB BC AB CA BC CA)0，故AB BC AB CA BC CA 12(AB 2BC 2CA 2)25.答案(1)6(2)25结束放映返回目录第9页【例题 2】(1)平面向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量 a，b 的夹角为_(2)已知向量AB 与AC 的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若APAB AC，且APBC，则实数 的值为_
7、考点突破解析(1)因为|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，所以 a2ab2b27，考点二 平面向量的夹角与垂直所以 12cosa，b2227，所以 cosa，b0.又a，b0，所以a，b2.(2)由APBC，知APBC 0，即APBC(AB AC)(AC AB)(1)AB AC AB 2AC 2(1)3212 940，解得 712.结束放映返回目录第10页 考点突破规律方法(1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cos ab|a|b|(夹角公式)，abab0 等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量
8、积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角考点二 平面向量的夹角与垂直结束放映返回目录第11页 考点突破解析(1)由 ab0，即 230，训练 2(1)已知 a(2，1)，b(，3)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b.若bc0，则 t_ 解得 32.由 ab，得 6，即 6.因此 32，且 6.(2)bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|2考点二 平面向量的夹角与垂直注意平角不是钝角，所以不要忽视反向时的情况12t1t12t1
9、0，t2.答案(1)(，6)6，32 (2)2结束放映返回目录第12页 考点突破考点三 平面向量的模及应用例 3(1)已知向量 a，b 均为单位向量，它们的夹角为3，则|ab|()A1 B.2C.3D2 (2)(2014湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点 D 满足|CD|1，则|OA OB OD|的取值范围是()A4，6 B 191，191C2 3，2 7 D 71，71(1)解析因为向量 a，b 均为单位向量，它们的夹角为3，所以|ab|（ab）2 a22abb212cos 31 3.结束放映返回目录第13页 考点突破考点三 平面向量的模及
10、应用例 3(2)(2014湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点 D 满足|CD|1，则|OA OBOD|的取值范围是()A4，6 B 191，191C2 3，2 7 D 71，71(2)解 由|CD|1 知，点 D 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的动点，设 D(x，y)，则(x3)2y21|OA OB OD|（x1）2（y 3）2表示点 D 到点 P(1，3)的距离又|PC|（31）2（0 3）2 7，答案(1)C(2)D因此 71|PD|71，故选 D.yx(-1,3)(1,-3)11211234PFICBAOD若不运行请临时关闭杀毒软件
11、结束放映返回目录第14页 考点突破规律方法1.求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|aa及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解考点三 平面向量的模及应用2求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解结束放映返回目录第15页 考点突破解析 训练 3 已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC
12、 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，DPx，D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)PA(2，x)，PB(1，ax)，PA3PB(5，3a4x)，|PA3PB|225(3a4x)225，当 x3a4 时取等号|PA3PB|的最小值为 5.考点三 平面向量的模及应用答案 5结束放映返回目录第16页 思想方法课堂小结1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧结束放映返回目录第17页 易错防范课堂小结1(1)0 与实数 0 的区别：0a00，a(a)00，a000；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0 不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能 ab.3在运用向量夹角时，注意其取值范围0，4在用|a|a2求向量的模时，一定要把求出的 a2再进行开方.结束放映返回目录第18页（见教辅）