1、1理解线性约束条件、线性目标函数、线性规划的概念；2掌握在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；3了解线性规划问题的图解法；4掌握应用简单的线性规划解决生产实际中资源配置和降低资源消耗等问题，培养建立数学模型的能力 (100()0()AxByCAxByCAxByC标线侧点组组区区边线区边线一般地，二元一次不等式在平面直角坐系中表示直某一的所有成的平面域 半平面 不含界；不等式所表示的平面域1.二半平元面一次不包等括式表示平面域界的 0020(0)0()_3AxByCAxByCAxByCxy区时线侧点将标该点标满区满这个点区区个组组区个区判定不等式或所表示的平面域，只要在直的一任意取一，它的坐代
2、入不等式，如果的坐足不等式，不等式就表示的平面域；如果不足不等式，就表示所在域的的平面域由几不等式成的不等式表示的平面域是各不等式所表示的平面域的公共部分()_2_xy线标数线约条问题统称为线规问题满线约条组标数产实际许问题归结为线规规题线问求性目函在性束件下的最大值或最小值的，性划足性束件的解，叫做，由所有可行解成的集合叫；使目函取最大值或最小值的可行解叫做，生中有多性划都可以性划 123()4()5()()6()xyzf xyf xyt tf xytt线规问题图骤题设变线约条线标数画约条区区线标数线为参数观图线给性划一般用解法，其步如下：根据意，出量、；找出性束件；确定性目函，；出可行域
3、即各束件所示域的公共域；利用性目函作平行直系，；察形，找到直，在可行域上使 取得欲求最值的位置，以确定最优解，出答案该点所在一侧；另一侧；可行解；可行【要点指南】：域；最优解 1.不等式组x3y60 xy20表示的平面区域是(B)2.若点(1,3)和(4，2)在直线 2xym0 的两侧，则 m 的取值范围是()Am10Bm5 或 m10C5m10D5m10【解析】由已知两点在直线的两侧，则(23m)(82m)0，即(m5)(m10)0，所以5m10，选 C.3.若 AxBy50 表示的区域不包括点(1,2)，则 A2B 的取值范围是()A(5，)B5，)C(，5)D(，5【解析】因为 AxBy
4、50 表示的区域不包括点(1,2)，所以 A2B50，即 A2B5.4.若变量 x、y 满足约束条件32xy96xy9，则 zx2y 的最小值为 6.【解析】画出平面区域，如图所示的矩形 ABCD，且 A(3，3)，B(4，5)，C(6，3)，D(5，1)，平移目标直线 zx2y，当过点 B(4，5)时，纵截距最小，zmin42(5)6.5.设 m1，在约束条件yxymxxy1下，目标函数zx5y 的最大值为 4，则 m 的值为 3.【解析】画出不等式组表示的平面区域如图，平移直线 zx5y，易知在 A 处取最大值方法 1：ymxxy1 x1m1y mm1，则1m1 5mm14m3.方法 2：
5、由在 A 处取得最大值 4，即点 A 是 xy1 与 x5y4 的交点，易知 A(14，34)，又点 A 在 ymx 上，故 m3.一 线性规划与平面区域【例 1】画出不等式组xy50 xy0 x3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出 x，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点(横、纵坐标都为整数)?(3)求所围平面区域的面积【解析】(1)不等式 xy50 表示直线 xy50上及右下方的平面区域xy0 表示直线 xy0 上及右上方的平面区域，x3 表示直线 x3 上及左方的平面区域 所以，不等式组xy50 xy0 x3表示的平面区域如图所示结合图中可行域得 x52，3，y3,8(2
6、)由图形及不等式组知xyx52x3，且xZ.当 x3 时，3y8，有 12 个整点；当 x2 时，2y7，有 10 个整点；当 x1 时，1y6，有 8 个整点；当 x0 时，0y5，有 6 个整点；当 x1 时，1y4，有 4 个整点；当 x2 时，2y3，有 2 个整点所以平面区域内的整点共有 2468101242(个)(3)由(1)知，x52，3，y3,8，所以 S12(352)(38)1214.【点评】作出平面区域，注意变量范围，并分析其构成是准确数整点和求面积的关键 某人要把长度为 20 米的钢筋截成长度为 1 米和 3 米的两种规格，且 1 米长的钢筋数不少于 3 米长的钢筋数的2
7、 倍，试用不等式组表示上述不等关系，并说明理由素材1【解析】设截得 3 米长的钢筋 x 根，截得 1 米长的钢筋 y 根，由题意知，应有下列关系：(1)截得两种规格的钢筋的总长度不超过 20 米，不等式为：3xy20；(2)截得 1 米长的钢筋数不少于 3 米长的钢筋数的2 倍，不等式为：y2x；(3)截得两种规格的钢筋的数量不能为负，不等式为：x0，y0.所以，上述不等关系用不等式组表示为：3xy20y2xx0y0.二 线性规划下的最值 【例 2】已知 x，y 满足约束条件x1x3y43x5y30.(1)求目标函数 z2xy 的最大值和最小值；(2)若目标函数 zaxy 取得最大值的最优解有
8、无穷多个，求 a 的值；(3)求 zy5x5的取值范围【解析】(1)作出不等式组表示的可行域如图：作直线 l：2xy0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的 A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行域内的 B 点时，z 取最大值，解x1x3y4 得 A(1，53)，解x3y43x5y30 得B(5,3)所以 zmax25313，zmin2153113.(2)一般情况下，当 z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线 zaxy 平行于直线 3x5y30 时，线段 BC上的任意一点均使 z 取得最大值，此时满足条件的点，即最优解有无数个又 kBC35，所以a35，
9、所以 a35.(3)zy5x5y5x5可看作区域内的点(x，y)与点 D(5，5)连线的斜率由图可知，kBDzkCD，因为 kBD355545，kCD275 515 2615，所以 zy5x5的取值范围是45，2615【点评】(1)求线性目标函数在线性约束条件下的最值是一类最基本题型，通过平移目标函数通过平面区域，并由直线在 y 轴上纵截距的大小，探求 z 的最值；(2)求非线性目标函数的最值，应通过转化、寻找模型求解如 yaybcxdacybaxdc，从而转换为动点(x，y)与定点(dc，ba)的斜率；y xa2yb2转化为距离等设实数 x、y 满足xy20 x2y402y30，则yx的最大
10、值是 32.素材2【解析】不等式组确定的平面区域如图阴影部分设yxt，则 ytx，求yx的最大值，即求 ytx 的斜率的最大值 显然 ytx 过 A 点时，t 最大由x2y402y30，解得 A(1，32)代入 ytx，得 t32.所以yx的最大值为32.三 线性规划的实际应用【例 3】某公司计划 2012 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 90000元甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和200 元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 3000 元和 2000 元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的
11、广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少元？【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元由题意得xy300，500 x200y90000，x0，y0.)目标函数为 z3000 x2000y.二元一次不等式组等价于xy300，5x2y900，x0，y0.)作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线 l：3000 x2000y0，即 3x2y0.平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数取得最大值联立xy3005x2y900)，解得 x100，y200.所以点 M 的坐标为(100,200)所以 zmax300
12、0 x2000y700000(元)答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元【点评】解决线性规划应用问题的一般步骤：认真审题分析，设出有关未知数，写出线性约束条件和目标函数；根据线性规划问题的求解方法求出最优解；检验回答所求 某工厂生产甲、乙两种产品，生产 1 吨甲产品需要电力 5 千瓦时，煤 3 吨，劳动力 5 人，获利 700 元；生产 1吨乙产品需要电力 6 千瓦时，煤 6 吨，劳动力 3 人，获利900 元该厂现有工人 150 人，电力负荷 180 千瓦时，煤150 吨，问这两种产品各生产多少吨时，才能获得最大的经济
13、效益？素材3【解析】设生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获利 z 元，依题意可得：5x6y1803x6y1505x3y150 x0y0，目标函数 z700 x900y.作出可行域(如右图中阴影部分)和目标函数的等值线(如图中的虚线)所以当目标函数的等值线经过点A(15，352)时，目标函数 z 取最大值 26250 元答：生产甲产品 15 吨，乙产品 17.5 吨时可获得最大的经济效益备选例题已知 x，yR，且 x2y1，则二次函数式 ux2y24x2y 的最小值为()A3B.125C24D245【解析】因为 x，yR，且 x2y1，所以表示的平面区域如图所示，函数 yx2y24x2y(x2
14、)2(y1)25.当 x2，y1 时，即取 P(2,1)时，u 的值为最小，但是点 P(2,1)不在区域 x2y1 内，所以函数 ux2y24x2y 不在点 P 取得最小值但是，当整体(x2)2(y1)2 取得最小值时，u 就取得最小值，x22y12的最小值可以理解为在区域 x2y1 内任取一点 Q(x，y)到点 P(2,1)的距离的最小值 故过点(2,1)作直线 PQ 垂直于直线 x2y1，垂足为 Q 就是要求的符合条件的点又 lPQ：2xy50.由2xy50 x2y10，得点 Q 的坐标为(95，75)把 Q(95，75)代入 u，得 ux2y24x2y(x2)2(y1)25(952)2(751)25245，即245 为所求的最小值，故选 D.【点评】本例利用解决线性规划的基本思想方法图解法，解决非线性规划问题图解法的本质是数形结合，也就是利用图形的形象直观来确定最优解类似也可利用这一思想方法解决相关问题，其关键是由“式”的结构特征联想它的几何意义 简单线规问题数学识题热点数结载图组标数从获图实质数结两运线约条将标数转为线进过简为线的性划是高中的主干知，也是近年高考命的，是形合思想的体之一作求解：作出不等式所表示的可行域，确定目函的最优位置，而得最优解解法的是形合思想的次用：第一次是由所得的性束件，作出可行域；第二次是目函化平行直系行探究此程可述“可行域直系最优解”
