1、第2课时 排列的综合应用目标定位重点难点1.掌握应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤和方法2掌握排列数公式在两个原理中的应用.重点：应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题难点：应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：1将6名同学排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A36B120C720D1 440【答案】C2.(2019年拉萨月考)从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有()A.6个B.10个C.12个D.16个【答案】C3某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不
2、同的公益广告，要求前两个必须播放公益广告，则不同的播放方式有_种(用数字作答)【答案】124有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，语文书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_种(结果用数字表示)【答案】1 440【例1】(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？【解题探究】(1)由条件分析可直接得出结果(2)利用分类法进行求解无限制条件的排列问
3、题【解析】(1)从 7 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 7 个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是 A37765210(种)(2)分 3 类完成第 1 类，挂 1 面旗表示信号，有 A13种不同方法；第 2 类，挂 2 面旗表示信号，有 A23种不同方法；第 3 类，挂 3 面旗表示信号，有 A33种不同方法根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有 A13A23A3333232115 种8解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素(位置)的性质分类，按事件发生的连续过程合理分步来解决1.(20
4、19年天津期末)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项.(1)不同的承建方案共有多少种？(2)若甲工程队已经确定承建1号子项目，则不同的承建方案共有多少种？【解析】(1)每一种承建方案对应于五个工程队的一个排列，故不同的承建方案有 A55=120(种).(2)甲工程队已经确定承建 1 号子项目，则其余四个工程队承建剩下 4 个子项目，不同的承建方案有 A44=24(种).【例2】(2017年通化测试)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间【解题探究】注意位置和元素的特殊性有
5、限制条件的排列问题【解析】(1)方法一(元素分析法)：先排甲有 6 种，再排其余人有 A88 种，所以共有 6A88241 920(种)排法方法二(位置分析法)：中间和两端有 A38 种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A66 种排法，所以共有 A38A66241 920(种)排法方法三(等机会法)：9 个人全排列有 A99 种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，则甲不在中间及两端的排法总数是 A9969241 920(种)方法四(间接法)：A993A886A88241 920(种)(2)先排甲、乙，再排其余 7 人，共有 A22A7710 080(种)排法(3)(插空法)先排 4 名男生有
6、A44 种方法，再将 5 名女生插空，有 A55 种方法，所以共有 A44A552 880(种)排法8对于排列问题，一般情况下会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”2用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位数的奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数【解析】(1)方法一(直接法)：从特殊位置入手分三步完成，第一步先填个位，有 A13种填法，第二步再填十万位，有 A14种填法，第三步填其他位，有 A44种填
7、法，故共有 A13A14A44288 个六位奇数方法二(直接法)：从特殊元素入手0 不在两端有 A14种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有 A44种排法，故共有 A14A13A44288 个六位奇数方法三(间接法)：6 个数字的全排列有 A66个，0,2,4 在个位上的排列数为 3A55个，1,3,5 在个位上，0 在十万位上的排列数有 3A44个，故对应的六位奇数的排列数为 A663A553A44288(个)(2)方法一(间接法)：0 在十万位和 5 在个位的排列都是不符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万位且 5 在个位的情况
8、故符合题意的六位数共有 A662A55A44504 个方法二(直接法)：个位不排 5，有 A15种排法，但十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同因此需分两类第一类，当个位排 0 时，有 A55个第二类，当个位不排 0 时，有 A14A14A44个故共有符合题意的六位数 A55A14A14A44504 个(3)直接法：当千位上排 1,3 时，有 A12A13A24个当千位上排 2 时，有 A12A24个当千位上排 4 时，形如 40，42的各有 A13个，形如 41的有 A12A13个形如 43的只有 4 310 和 4 302 这两个数故共有 A12A13A24A12A242A
9、13A12A132110 个【例3】从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2bxc0？其中有实根的方程有多少个？【解题探究】一元二次方程中a0需要考虑到，对有根的一元二次方程，需有b24ac0，这里有两层意思，一是a不能为零，二是要保证b24ac0.所以可先对c能否取0进行分类讨论排列与其他知识的综合应用【解析】先考虑组成一元二次方程的问题首先确定 a，只能从 1,3,5,7 中选一个，有 A14种，然后从余下的 4 个数中任选两个作 b，c，有 A24种由分步乘法计数原理，知共组成一元二次方程A14A2448(个)方程要有实根，必须满足 b24
10、ac0.分类讨论如下：当 c0 时，a，b 可在 1,3,5,7 中任取两个排列，有 A24个；当 c0 时，分析判别式知 b 只能取 5,7.当 b 取 5 时，a，c只能取 1,3 这两个数，有 A22种；当 b 取 7 时，a，c 可取 1,3 或1,5 这两组数，有 2A22种此时共有 A222A22个由分类加法计数原理，知有实根的一元二次方程共有 A24A222A2218(个)8综合问题经常会带有限制，而带有限制的排列综合，一般用分类讨论或者间接法两种方法处理3从集合1，2，3，20 中任选出 3 个不同的数，使这3 个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？【解析】设 a，b，c
11、N 且 a，b，c 成等差数列，则 ac2b，即 ac 应是偶数因此从 1 到 20 这 20 个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而 1 到 20 这 20 个数字中有 10 个偶数和 10 个奇数当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定因此，选法只有两类(1)第一、三个数都是偶数，有 A210种选法；(2)第一、三个数都是奇数，有 A210种选法于是，选出 3 个数成等差数列的个数为 A210A210180(个)【示例】3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有多少种排法？思维不严密致错错解：分步完成，先让 3 名男
12、生站成一排，有 A33种排法；再让 3 名女生插入 3 名男生形成的 4 个空当中，有 A34种插法由分步乘法计数原理，共有 A33A34144 种不同排法错因分析：不相邻问题，用插空是对的，但上述错解只能保证女生不相邻，并不能保证先排的男生不相邻，如排法“女男女男男女”正解：第 1 步，3 名男生站成一排，有 A33种排法；第 2 步，插入女生，女生只能插入 3 名男生形成的前 3 个空档或后 3 个空档，有 2A33种插法由分步乘法计数原理，共有 2A33A3372 种排法警示：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可，本题要
13、注意不仅保证女生不相邻，还要保证男生也不相邻1解答排列应用题时，要注意以下几点(1)解排列应用题，要仔细审题，明确题目中事件是什么，通过什么样的程序解决，进而选用相应模型计算，不能乱套公式，盲目计算(2)明确问题的限制条件，注意特殊元素和特殊位置，必要时可画出树形图来解(3)注意间接法的使用2结合两个原理解题是处理排列问题必不可少的方法(1)求解排列问题时，正确地理解题意是关键的一步，把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语(2)正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是十分重要的分类时，要注意种类之间不重复，不遗漏；分步时，要注意依次做完各个步骤后，事情才能完成(3)如果不符合条件的情况较少
14、时，也可以采用排除法【答案】B15 人排队照相，前排 2 人，后排 3 人，则不同的排法种数为()AA22A33BA55CA33A33DA25【解析】问题实际上就是把 5 个人安排在 5 个位置上，与分排无关，故共有 A55种，故选 B.2甲、乙、丙、丁4个小朋友先后读一本漫画书，甲首先阅读的安排方法有()A24种B18种C12种D6种【答案】D【解析】先让甲阅读，余下三人阅读顺序为 A33，或者先让四个人排列 A44，而甲先阅读只占14，所以14A446 种3.(2020年衡水模拟)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件
15、，若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有()A.120种 B.210种 C.420种 D.240种【答案】D【解析】可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件排列，则有AAA240种排法.故选D.4.(2019年安徽月考)用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是_(用数字作答).【答案】72【解析】由题意可分两种情况，把 1，3，5 排在个位、百位、万位，把 2，4，6 排在十位、千位、十万位，可以得到的六位数的个数为 A33A33；把 2，4，6 排在个位、百位、万位，把1，3，5 排在十位、千位、十万位，可以得到的六位数的个数为 A33A33.所以满足题意的六位数的个数是 A33A33+A33A33=72.
