1、13 二项式定理1.3.1 二项式定理内 容 标 准学 科 素 养1.能用计数原理证明二项式定理2.理解二项式定理及二项展开式的特征，掌握二项式定理和二项展开式的通项公式3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数4.能解决与二项式定理有关的简单问题.利用数学抽象提升数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点 二项式定理及其相关概念知识梳理 二项式定理公式(ab)n，称为二项式定理二项式系数通项Tk1二项式定理的特例(1x)nC0nC1nxC2nx2CknxkCnnxnC0nanC1nan1bCkna
2、nkbkCnnbnCkn(k0,1，n)Cknankbk自我检测1(2x1)4 的展开式为_2(x2)8 的展开式中的第 6 项为_，其二项式系数为_答案：16x432x324x28x1答案：1 792x3 56探究一 二项式定理的正用、逆用阅读教材 P30 例 1求2 x 1x6 的展开式题型：二项式定理的应用方法步骤：(1)先将二项式整理为 1x3(2x1)6.(2)再用二项式定理将(2x1)展开并化简即得到展开式例 1(1)求3 x 1x4 的展开式(2)化简：C0n(x1)nC1n(x1)n1C2n(x1)n2(1)kCkn(x1)nk(1)nCnn.解析(1)法一：3 x 1x4(3
3、 x)4C14(3 x)31x C24(3 x)21x2C34(3 x)1x3C441x481x2108x5412x 1x2.法二：3 x 1x43x14x2C043x4C143x3C243x2C343xC44x281x4108x354x212x1x281x2108x5412x 1x2.(2)原式C0n(x1)nC1n(x1)n1(1)C2n(x1)n2(1)2Ckn(x1)nk(1)kCnn(1)n(x1)(1)nxn.方法技巧 1.(ab)n 的二项展开式有 n1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数和等于 n；(2)字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1
4、 直到 0；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n.2逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢跟踪探究 1.化简：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.解析：原式C05(2x1)5C15(2x1)4C25(2x1)3C35(2x1)2C45(2x1)C55(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.探究二 二项展开式通项的应用阅读教材 P31 例 2(1)求(12x)7 的展开式的第 4 项的系数；(2)求x1x9 的展开式中 x3 的系数题型：二项展开式通项公式的应用方法
5、步骤：对于(1)直接用通项公式写出 T4 从而得出该项系数对于(2)，写出 Tr1 并整理由 x3 项得到 r 的值，从而求出该项系数例 2 若x 124 xn 展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含 x 的一次项；(2)展开式中所有的有理项解析(1)由已知可得 C0nC2n 1222C1n 12，即 n29n80，解得 n8 或 n1(舍去)Tk1Ck8(x)8k124 xkCk82kx434k，令 434k1，得 k4.所以 x 的一次项为 T5C4824x358 x.(2)令 434kZ，且 0k8，则 k0,4,8，所以含 x 的有理项分别为 T1x4，T5358 x，T9
6、1256x2.方法技巧 1.利用二项式的通项求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第 k 项，TkCk1n ank1bk1；(2)求含 xk 的项(或 xpyq 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪探究 2.在2x2 13 x8 的展开
7、式中，求：(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数；(2)x2 的系数解析：(1)T5T41C48(2x2)84 13 x4C4824x203，所以第 5 项的二项式系数是 C4870，第 5 项的系数是 C48241 120.(2)2x2 13 x8 的通项是 Cr8(2x2)8r 13 xr(1)rCr828rx1673r.由题意，得 1673r2，解得 r6，因此，x2 的系数是(1)6C68286112.探究三 利用二项式定理解决整除和余数问题阅读教材 P37 习题 1.3 B 组 1(2)用二项式定理证明：99101 能被 1 000 整除证明：99101(1001)101C0
8、1010010C1101009C2101008C910100C10101C01010010C1101009C21010081 000，每一项均能被 1 000 整除所以 99101 能被 1 000 整除例 3 试判断 77771 能否被 19 整除解析 77771(761)7717677C1777676C2777675C767776C7777176(7676C1777675C2777674C7677)由于 76 能被 19 整除，因此 77771 能被 19 整除方法技巧 用二项式定理解决 anb 整除(或余数)问题时，一般需要将底数 a 写成除数 m 的整数倍加上或减去 r(1rm)的形式
9、，利用二项展开式求解跟踪探究 3.2303 除以 7 的余数为_解析：2303(23)1038103(71)103C010710C11079C9107C101037(C01079C11078C910)2.又余数不能为负数(需转化为正数)，2303 除以 7 的余数为 5.答案：5课后小结(1)二项展开式的特点展开式共有 n1 项各项的次数和都等于二项式的幂指数 n.字母 a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到为 0，字母 b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由 0 逐项加 1 直到为 n.(2)对通项公式的四点说明通项公式 Tr1Crnanrbr 是(ab)n
10、 的展开式的第 r1 项，这里 r0,1，n.二项式(ab)n 的第 r1 项 Crnanrbr和(ba)n的展开式的第 r1 项 Crnbnrar 是有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b 是不能随便交换的注意二项式系数 Crn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负通项公式是在(ab)n 这个标准形式下而言的，而(ab)n 的二项展开式的通项公式是 Tr1(1)rCrnanrbr(只需把b 看成 b 代入二项式定理)，这与 Tr1Crnanrbr是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的，都是 Crn，但项的系数一个是(1)rCrn，一个是 Crn
11、，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念素养培优1.对展开式的通项记不清是第几项致错(2x1)5 的展开式中第 4 项的系数是()A5 2 B10C20 D20易错分析：第 4 项的系数为 C45(2)(1)45 2，故选 A.考查数学抽象、数学运算的学科素养自我纠正：由展开式的通项，得 T4C35(2x)2(1)3102x220 x2，所以第 4 项的系数为20.答案：D2因混淆二项展开式中项的系数与二项式系数而致错设(x 2)n 展开式中，第二项与第四项的系数之比为 12，试求含 x2 的项易错分析：把二项展开式中项的系数与二项式系数混淆了考查直观想象及数学运算的学科素养自我纠正：(x 2)n 展开式的第 2 项与第 4 项分别为 C1nxn1(2)2nxn1，C3nxn3(2)32 2C3nxn3.依题意得 2n2 2C3n12n23n40，解方程并舍去不合题意的负根，得 n4.3颠倒公式(ab)n 中 a，b 的顺序致错若3 x1xn 展开式中，第 3 项是常数，则中间项是第几项？易错分析：解析时易把1x看作 a，把3 x看作 b 致错考查数学抽象及数学运算的学科素养自我纠正：T3C2nxn23 1x2C2nxn83，因为第 3 项是常数，所以令n83 0，解得 n8.故展开式总共有 9 项，中间项是第 5 项04课时 跟踪训练
