1、1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数 定义在函数 f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两数 x1，x2A 当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么，就称函数 f(x)在区间A 上是增加的当 x1f(x2)，那么，就称函数 f(x)在区间 A 上是减少的 图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x)在区间 A 上是增加的或是减少的，那么就称 A 为单调区间2函数的最值前提函数 yf(x)的定义域为 D 条件(1)存在 x0D，使得 f(x0)M；(2)对于任意 xD，都有 f(x)M.(3)存在 x0D，使得 f(
2、x0)M；(4)对于任意 xD，都有 f(x)M.结论M 为最大值M 为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对任意 x1，x2D(x1x2)，fx1fx2x1x20f(x)在 D 上是增加的，fx1fx2x1x20)的增区间为(，a和 a，)，减区间为 a，0)和(0，a(3)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)0 时，由题意得 2a1(a1)2，即 a2；
3、当 a0)的单调增区间为_答案(0，)解析 函数的对称轴为 x1，又 x0，所以函数 f(x)的单调增区间为(0，)4(教材改编)已知函数 f(x)x22ax3 在区间1,2上是增函数，则实数 a 的取值范围为_答案(，1解析 函数 f(x)x22ax3 的图像开口向上，对称轴为直线 xa，画出草图如图所示由图像可知函数 f(x)的单调递增区间是a，)，由1,2a，)，可得 a1.5(教材改编)已知函数 f(x)2x1，x2,6，则 f(x)的最大值为_，最小值为_答案 2 25解析 可判断函数 f(x)2x1在2,6上是减少的，所以 f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6)25.题型
4、一 确定函数的单调性(区间)命题点 1 给出具体解析式的函数的单调性例 1(1)函数 f(x)log 12(x24)的单调递增区间是()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)(2)yx22|x|3 的单调递增区间为_答案(1)D(2)(，1，0,1解析(1)因为 ylog 12t，t0 在定义域上是减少的，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)(2)由题意知，当 x0 时，yx22x3(x1)24；当 x0)，用定义法判断函数 f(x)在(1,1)上的单调性解 设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x22
5、1ax1x22ax1ax2x21ax2x211x221ax2x1x1x21x211x2211x1x20，x1x210，(x211)(x221)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在(1,1)上是减少的引申探究如何用导数法求解例 2?解 f(x)ax21ax2xx212ax21x212，a0，f(x)0 在(1,1)上恒成立，故函数 f(x)在(1,1)上是减少的思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“”连接(1)已知函数 f(x)x22
6、x3，则该函数的单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)(2)函数 f(x)(3x2)ex 的单调递增区间是()A(，0)B(0，)C(3,1)D(，3)和(1，)答案(1)B(2)C解析(1)设 tx22x3，则 t0，即 x22x30，解得 x1 或 x3.所以函数的定义域为(，13，)因为函数 tx22x3 的图像的对称轴为 x1，所以函数 t 在(，1上是减少的，在3，)上是增加的所以函数 f(x)的单调递增区间为3，)(2)f(x)2xexex(3x2)ex(x22x3)ex(x3)(x1)当3x0，所以函数 y(3x2)ex 的单调递增区间是(3,1)，故选 C.题型
7、二 函数的最值例 3(1)函数 f(x)1x，x1，x22，x1的最大值为_答案 2解析 当 x1 时，函数 f(x)1x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；当 x0 恒成立，试求实数 a 的取值范围解 当 a12时，f(x)x 12x2，又 x1，)，所以 f(x)1 12x20，即 f(x)在1，)上是增函数，所以 f(x)minf(1)1 121272.f(x)xax2，x1，)()当 a0 时，f(x)在1，)内为增函数最小值为 f(1)a3.要使 f(x)0 在 x1，)上恒成立，只需 a30，所以3a0.()当 00，a3，所以 01)的最小值为_答案(
8、1)1(2)8解析(1)易知函数 yx x1在1，)上为增函数，x1 时，ymin1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一(基本不等式法)f(x)x28x1 x122x19x1(x1)9x122x1 9x128，当且仅当 x1 9x1，即 x4 时，f(x)min8.方法二(导数法)f(x)x4x2x12，令 f(x)0，得 x4 或 x2(舍去)当 1x4 时，f(x)4 时，f(x)0，f(x)在(4，)上是增加的，所以 f(x)在 x4 处取到极小值也是最小值，即 f(x)minf(4)8.题型三 函数单调性的应用命题点 1 比较大小例 4 已知函数 f(x)的图像向左平移 1 个单位后
9、关于 y 轴对称，当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac答案 D解析 根据已知可得函数 f(x)的图像关于直线 x1 对称，且在(1，)上是减函数，因为 af(12)f(52)，且 252ac.命题点 2 解函数不等式例 5(2016珠海模拟)定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0，)上是增加的，且 f(12)0，则满足 f(log 19x)0 的 x 的集合为_答案 x|0 x13或 10，得 log 19x12，或12log 19x0，解得 0 x13或 1x14Ba14C14a0D14a0(2)已知 f(x)2ax1，x0 成立，那么 a 的取
10、值范围是_答案(1)D(2)32，2)解析(1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上是增加的，故在(，4)上是增加的；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x1a，因为 f(x)在(，4)上是增加的，所以 a0，且1a4，解得14a0，a1，2a11a，解得32a2，所以 a 的取值范围是32，2)思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利
11、用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值(1)(2016太原模拟)已知函数 f(x)x(ex1ex)，若 f(x1)x2Bx1x20Cx1x2Dx210 时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，由 f(x1)f(x2)，得 f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，x21x22.(2)由于 ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故函数 ylog3(x2)在(3，)上是增函数又函
12、数 y2xkx2 2x24kx224kx2，因其在(3，)上是增函数，故 4k0，得 k0 时，恒有 f(x)1.(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出 f(x2)f(x1)并与 0 比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式规范解答(1)证明 设 x1，x2R 且 x10，当 x0 时，f(x)1，f(x2x1)1.2 分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4 分f(x2)f(x1)f(x2x
13、1)10f(x1)f(x2)，f(x)在 R 上为增函数6 分(2)解 m，nR，不妨设 mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8 分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，10 分f(x)在 R 上为增函数，a2a513a2，即 a(3,2)12 分解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数 f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为 f(M)0 且 a10，即 a1.4已知 f(x)ax，x1，4a2x2，x1是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是()A(1，)B4,8)
14、C(4,8)D(1,8)答案 B解析 由已知可得a1，4a20，a4a22，解得 4a8.5(2016兰州模拟)已知函数 f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上是增加的，则满足 f(2x1)f(13)的 x 的取值范围是()A(13，23)B13，23)C(12，23)D12，23)答案 D解析 由已知，得2x10，2x113，即12x23.6(2016江西吉安一中高一期中)用 mina，b表示 a，b 两个数中的最小值，设 f(x)minx2，x4，则 f(x)的最大值为()A2B3C4D6答案 B解析 由题意知 f(x)x4，x0，0，x0，1，x1，0，x1，x2，x1，函数的
15、图像如图所示，其递减区间为0,1)9若函数 f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则 a_.答案 6解析 f(x)|2xa|2xa，xa2，2xa，x0 且 a1，设函数 f(x)x2，x3，2logax，x3 的最大值为 1，则 a的取值范围为_答案 13，1)解析 f(x)在(，3上是增函数，则 f(x)max1.f(x)在 R 上的最大值为 1，0a1，且 2loga31，解得13a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)在12，2上的值域是12，2，求 a 的值(1)证明 任取 x1x20，则 f(x1)f(x2)1a1x11a1x2x1x2x1x2，
16、x1x20，x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函数(2)解 由(1)可知，f(x)在12，2上为增函数，f(12)1a212，f(2)1a122，解得 a25.12已知 f(x)是定义在(0，)上的减函数，且满足 f(x)f(y)f(xy)(1)求证：f(x)f(y)f(xy)；(2)若 f(4)4，解不等式 f(x)f(1x12)12.(1)证明 由条件 f(x)f(y)f(xy)可得 f(xy)f(y)f(xyy)f(x)，所以 f(x)f(y)f(xy)(2)解 f(4)4，所以 f(4)f(4)f(16)8，f(4)f(1
17、6)f(64)12.由(1)可得 f(x)f(1x12)f(x(x12)，又 f(x)是定义在(0，)上的减函数，x0，1x120 x12，由 f(x)f(1x12)12，即 f(x(x12)f(64)，所以 x(x12)64.所以 x212x64(x16)(x4)0，得4x16，又 x12，所以 x(12,16故原不等式的解集为x|120，试确定 a 的取值范围解(1)由 xax20，得x22xax0，当 a1 时，x22xa0 恒成立，定义域为(0，)；当 a1 时，定义域为x|x0 且 x1；当 0a1 时，定义域为x|0 x1 1a(2)设 g(x)xax2，当 a(1,4)，x2，)时，g(x)1ax2x2ax2 0 恒成立，所以 g(x)xax2 在2，)上是增函数所以 f(x)lgxax2 在2，)上是增函数所以 f(x)lgxax2 在2，)上的最小值为 f(2)lga2.(3)对任意 x2，)恒有 f(x)0，即 xax21 对 x2，)恒成立所以 a3xx2，令 h(x)3xx2，而 h(x)3xx2x32294在2，)上是减函数，所以 h(x)maxh(2)2，所以 a2.
