1、高三数学（文科）开学考 第 1 页 共 2 页 高 2019 级高三下开学考试数学（文科）试题命题人：叶强审题人：陈秀丽、杨世卿、胡蓉一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数2(1i)i1azaR在复平面上对应的点在直线0 xy 上，则a（）A 2B2C 3D32已知向量(2,1),(,4)ABACa，若 ABAC，则|BC （）A 2B 5C2 5D53集合2sin0,450PxxQxxx N，则 PQ（）A15xx B0 xxC0,1,2,3,4D1,2,34航天之父俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.T
2、siolkovsky）于 1903 年给出火箭最大速度的计算公式00ln 1MvVm.其中，0V 是燃料相对于火箭的喷射速度，M 是燃料的质量，0m 是火箭（除去燃料）的质量，v 是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知02km/sV，则当火箭的最大速度v 可达到10km/s 时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍.A5eB5e1C6eD6e15在等比数列 na中，已知5113a a，3134aa，则166aa 的值为（）A3B9C3 或 13D9 或 196已知双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线均和圆22:650C xyx 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的
3、圆心，则该双曲线的方程为（）A22172xyB2262511xyC22154xyD22145xy7函数 1222xf xexx的图象可能是（）ABCD8已知输入的实数1,1x，执行如图所示的流程图，则输出的 x 不小于椭圆22143xy 离心率 2 倍的概率为（）A 79B1516C 116D 789已知数列 na满足128a，12nnaan，则nan 的最小值为（）A 293B4 71C 485D 27410已知函数()tan()(0,0,|)2f xAxA的部分图象如图所示，下列关于函数()cos()()g xAxxR的表述正确的是（）A函数()g x 的图象关于点(,0)4对称B函数()
4、g x 在3,88上递减C函数()g x 的图象关于直线8x对称D函数()cos2h xx的图象上所有点向左平移 4 个单位得到函数()g x 的图象11如图，在三棱锥 ABCD的平面展开图中，四边形 BCED 是菱形，2,2BCBF，则三棱锥 ABCD外接球的表面积为（）A 43B2C 4D812设IM 表示函数2()42f xxx在闭区间 I 上的最大值若正实数a 满足0,2 2aaaMM，则正实数a 的取值范围是（）A123,2BCD二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13312log 22 113log212_.14已知实数 x，y 满足29yx，则31ytx的
5、取值范围是_23,12,2323,4高三数学（文科）开学考 第 2 页 共 2 页 15如图，圆O与 x 轴的正半轴的交点为 A，点C，B 在圆O上，且点C 位于第一象限，点 B 的坐标为 125,1313，AOC.若1BC ，则233cossincos2222的值为_16如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 2 cm，杯深 8cm，称为抛物线酒杯在杯口放一个表面积为236 cm的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_ cm；在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为_ _(单位：cm)三、解答题：共 70 分。解答应写出相应的文字说明、证明过
6、程或者演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分17如图，已知平面四边形 ABCD中，1ABCD（1）若2AD，4ADB，求ABD的面积；（2）若 BCt，2ADt，4CA ，求 t 的最大值18如图，四棱锥 PABCD中，侧面 PAD 底面 ABCD，底面 ABCD为梯形，AB/DC，且22 3APPDCDAB，60APDADC.AC 交 BD于点 F，G 为PAD的重心.（1）求证：GF/平面 PAB；（2）求三棱锥 BGFC的体积.19（本题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，
7、需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响.该公司对近 7 年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费 x（万元）和年销售量 y（单位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.x（万元）1234567y（单位：t）2.85.36.89.210.913.214.8（1）根据表中数据建立年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程（结果保留到 0.001）；（2）已知这种产品的年利润 z 与,x y 的关系为20.251.25zyx，根据（1）中的结果，估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润 z 最大.附：回归方程ybxa中的斜率和截距的最小二乘法估计公式
8、分别为1122211,nniiiiiinniiiix ynxyxxyybaybxxnxxx，参考数据：222222212345671401 2.82 5.3 3 6.84 9.25 10.96 13.27 14.8307.9 20已知aR，设函数 lnlnf xaxax（1）讨论函数 f x 的单调性；（2）若恒成立，求实数a 的取值范围21如图，已知点 2,2P是焦点为 F 的抛物线2:20C ypx p上一点，A，B 是抛物线C 上异于 P 的两点，且直线 PA，PB 的倾斜角互补，若直线 PA的斜率为 1k k（）求抛物线方程；（）证明：直线 AB 的斜率为定值并求出此定值；（）令焦点
9、F 到直线 AB 的距离 d，求的最大值（二）选考题：共 10 分.请在考生第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 的参数方程为3 cos3sin3xy（为参数），直线l 的参数方程为cossinxtyt（t 为参数，0 ）.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 E 和直线l 的极坐标方程；（2）直线l 与曲线 E 交于 A，B 两点，若2OAOB，求直线l 的斜率.选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f(x)11+22xx，M 为不等式 f(x)2 的解集（
10、1）求 M；（2）证明：当,a bM时，|1|abab.2ln1xa xfax|ddFAFB高三数学（文科）开学考 第 3 页 共 2 页 高 2019 级高三下开学考试数学（文科）试题答案一、选择题：DDDACC BBCBCA二、填空题 13.-1；14.32t 或34t；15.513；16.6；10,2；三、解答题17.【详解】（1）由正弦定理可得sin2sin212ADBABDADAB,24ABDBAD1121sin1224222ABDSAB AD（2）,ABD CBD中，由余弦定理得：2212 cosBDttC，22122 2 cosBDttA，2 2 cos2cos2 2 cos2c
11、os4tACAA 2sin24tA,42AC时，t 的最大值是218.【详解】证明：在图中：连接 DG 并延长交 PA于点 E，连接 BE.由底面 ABCD为梯形，/AB CD，2CDAB，ABFCDF，则21DFDCFBAB.又由G 为PAD的重心，21DGGE，则21DFDGFBGE，所以/GFEB.而GF 平面 PAB，EB 平面 PAB，所以GF/平面 PAB.（2）由 APPD，60APD，则PAD为正三角形.又 ADPDDC，60ADC.所以 ADC 为正三角形.因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，在PAD中，连接 PG 并延长交 AD于点 M，有 P
12、MAD，所以 PM 面ABCD.又21FCDFAFFB，则23B GFCG BFCG ABCVVV.因为60DACACDCAB ，3AB，2 3AC，所以13 3sin6022ABCSABAC.又 ADC 为正三角形，2 3AD，则3PM，1GM ，所以1332G ABCABCVSGM，故2333B GFCG ABCVV.19.【答案】解：（1）由题意1 1 23456747x ，1 2.85.36.89.2 10.9 13.2 14.897y 2307.97 4 91.996,9 1.996 41.0161407 4ba ，所以1.9961.016yx；（2）由（1）知221.9961.01
13、6 0.251.250.251.9960.234zxxxx，可知，当1.9963.9920.25 2x 时，年利润 z 最大.20.【详解】（1）11axaafxxaxx xa，0 x 且 xa ，0a，0fx，f x 单调递增：1a ，0fx，f x 单调递减：10a，01aaa ，,1axaa 时，0fx，f x 单调递减；,1axa 时，0fx，f x 单调递增（2）2lnlnln1xf xaxaxa xa，即2lnln0axaa xa，令 2lnlnh xaxaa xa，则 232aa xaah xaxaxa，令 0h x，可得21axa，当1a 时，0h x，则 h x 在0,单调递
14、减，则只需满足 0lnln0haaa，ln0a，解得01a，1a；当 01a 时，可得 h x 在210,aa单调递增，在21,aa单调递减，则 22max11ln1ln0ah xhaaaaaa，整理可得2ln0aaa，高三数学（文科）开学考 第 4 页 共 2 页 令 2lnaaaa，则 121121aaaaaa，则可得 a在10,2单调递增，在 1,12 单调递减，则 max13ln 2024a ，故01a 时，0h x 恒成立，综上，01a.21.【详解】（）将点 2,2P代入抛物线方程可得：1p ，抛物线2:2C yx（）设:221PA yk xk，与抛物线方程联立可得：22440ky
15、yk，4422APAkky yykk，用 k 代 k 可得：22 Bkyk因此，221222 ABABABABABAByyyykyyxxyy即12ABk（）由（）可知，12ABk，222 122,kkAkk，222 122,kkBkk因此22222 122122:202 kkkAB yxxykkk1,02F 到直线 AB 的距离222212225452 5kkkdk11|dddFAFBFAFB11|FBFAFAFBFAFB3423211112524162422 BABAABABABxxxxkkkx xxxxx2234242254543216sinsin2524162524162 55kkkkk
16、kkkk22244551616165542524516kkkkkkkk，令45tkk，由1k 得1t 2161611612 5sinsin16165555 2 16tttt当且仅当422 64545tkkk时取等号22.【详解】（1）曲线 E 的参数方程3 cos3sin3xy（为参数），22(3)3xy，即22660 xyy，将222xy，siny代入，曲线 E 的极坐标方程为26 sin60.直线l 的参数方程为cossinxtyt（t 为参数，0），直线l 的极坐标方程为(,0)R（2）将直线l 的极坐标方程(,0)R代入曲线2:6 sin60E 得26 sin60.236sin240，
17、22sin3.设点 1,A ，2,B ，由韦达定理得126sin，126 ，2OAOB，122，解得3sin2，满足0，又0，3或 23.直线l 的斜率tan3k.23.【详解】（1）依题意，12,211()1,2212,2x xf xxx x，当12x 时，由 f(x)2 得：22x，解得1x ，则有112x ，当1122x时，f(x)=12 恒成立，则1122x，当12x 时，由 f(x)2 得：2x2，解得1x ，则有 112x，综上得 11x ，所以|11Mxx.（2）由(1)知，当,a bM时，11a ，11b ，则22222222111()()(1)()0abababa bab，即22()(1)abab，所以|1|abab.