1、闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷（一模）考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3. 本试卷共有18道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1已知，其中是虚数单位，那么实数 【答案】【解析】因为，所以，即且，解得。2已知的展开式中，的系数为，则 【答案】2【解析】二项展开式的通项为，由得，即，因为的系数为80，所以，即。3设是
2、公比为的等比数列，且，则 【答案】3【解析】因为的公比为，所以，解得。4设双曲线的右顶点为，右焦点为过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，则的面积为【答案】【解析】双曲线的右顶点为，右焦点，双曲线的渐近线为，过点且与平行的直线为，则，即，由，解得，即，所以的面积为.5函数则的值为【答案】【解析】。6一人在海面某处测得某山顶的仰角为，在海面上向山顶的方向行进米后，测得山顶的仰角为，则该山的高度为 米（结果化简）【答案】 【解析】由题意知，且，则。由正弦定理得，即，即，所以山高。7已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为【答案】【解析】
3、抛物线的焦点坐标为，准线方程为。，过点P做准线的垂线PE，则，所以,当且仅当三点共线时，最小，此时,所以，即.8甲、乙、丙人安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有 种【答案】20【解析】从5天中任选3天有种，其中先安排甲，然后在任意安排，乙、丙有，所以不同的安排方法有种。9（文）若实常数，则不等式的解集为 【答案】【解析】因为，得，解得，即不等式的解集为。10（文）设函数 则方程有实数解的个数为 【答案】2 【解析】当时，由得，即，在坐标系中，做出函数的图象，由图象可知，当时，有一个交点。当时，由得，即，解得，
4、此时有一解，所以总共有2个交点，即方程的实数解的个数为2. 二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11（文）圆与直线没有公共点的充要条件是 【 】 A BC D【答案】C【解析】因为直线和圆没有公共点，则有圆心到直线的距离，即，解得，即，选C.12已知向量，满足：，且（）则向量与向量的夹角的最大值为 【 】A B C D【答案】B【解析】由得，即，所以，即，因为，所以，所以，即向量与向量的夹角的最大值为，选B.13以下四个命题中，真命题的个数为 【 】集合的真子集的个数为；平
5、面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；设，若，则且； 设无穷数列的前项和为，若是等差数列，则一定是常数列A B C D 【答案】B【解析】正确。错误。当时，满足，但且，所以错误。错误。若为等差数列，设，n=1时，时，所以若，则为常数列。若,则不是常数列，它从第2项开始为常数，但第1项不等于第2项。选B.三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）已知函数，（1）请指出函数的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求的取值范围15（文）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小
6、题满分7分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区已知种植区的占地面积为平方米（1）设试验田的面积为，求函数的解析式；（2）求试验田占地面积的最小值16（文）（本题满分15分，第1小题满分9分，第2小题满分6分）设定义域为的奇函数在区间上是减函数（1）求证：函数在区间上是单调减函数； （2）试构造一个满足上述题意且在内不是单调递减的函数（不必证明）17（文）（本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（1）求数量积的
7、取值范围；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围18（文）（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列如：若 则是公差为的准等差数列（1）求上述准等差数列的第项、第项以及前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，若，求的取值范围闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷答案一、1； 22； 33； 4； 5； 6； 7； 820； 9； 10（文）2二、11C 12B 13B三
8、、14解： （3分）（1），是非奇非偶函数 （3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如，不是奇函数 （2）由，得， （4分）所以即 （2分）15解：设的长与宽分别为和，则 （3分） （2分）试验田的面积 （2分）令，则， （4分）当且仅当时，即，此时， （2分）答: 试验田的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. （1分）16（文）解（1）任取，则由 （2分）由在区间上是单调递减函数，有， （3分）又由是奇函数，有，即 （3分）所以，函数在区间上是单调递减函数 （1分）（2）如 或等 （6分）17（文）解：（1）由题意，可求得， （1分）设，则有， （3分） （2分）所以， （1分）（2）设直线的方程为， （1分）代入，整理得，（*） （2分）因为直线过椭圆的左焦点，所以方程*有两个不相等的实根设，中点为，则， （2分）线段的垂直平分线的方程为 （1分）令，则（2分）因为，所以即点横坐标的取值范围为 （1分）18（文）解：（1）， （2分） （4分）（2） -得 所以，为公差为2的准等差数列 （2分）当为奇数时，； （2分）当为偶数时， （2分） （3）解一：在中，有32各奇数项，31各偶数项，所以， （4分）， （2分）解二：当为偶数时， 将上面各式相加，得 （4分）， （2分）- 9 -
