1、第一章数列3等比数列3.2等比数列的前n项和第2课时等比数列前n项和的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.等比数列an中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于()A.2B.12C.4D.14答案C解析a3=3S2+2,a4=3S3+2,a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,q=a4a3=4.2.已知等比数列an的前n项和为Sn=x3n-1-16,则x的值为()A.13B.-13C.12D.-12答案C解析Sn=x3n-1-16=x33n-16,由Sn=A(1-qn),得x3=16,x=12,故选C.3.设等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a
2、7+a8+a9等于()A.18B.-18C.578D.558答案A解析因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=18,所以a7+a8+a9=18.4.设Sn为等比数列an的前n项和,a2-8a5=0,则S8S4的值为()A.12B.2C.1716D.17答案C解析a5a2=q3=18,q=12.S8S4=S4+(S8-S4)S4=1+S8-S4S4=1+q4=1716.5.设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6等于()A.2B.73C.83D.3答案B解析由题意知q
3、1,否则S6S3=6a13a1=23.S6S3=a1(1-q6)1-qa1(1-q3)1-q=1+q3=3,q3=2.S9S6=a1(1-q9)1-qa1(1-q6)1-q=1-q91-q6=1-231-22=73.6.若等比数列an的前5项和S5=10,前10项和S10=50,则它的前15项和S15=.答案210解析由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,故(S10-S5)2=S5(S15-S10),即(50-10)2=10(S15-50),解得S15=210.7.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,若对任意nN+,有an+1=13Sn,则Sn=.答案4
4、3n-1解析由an+1=13Sn,得Sn+1-Sn=13Sn,即Sn+1=43Sn,则数列Sn是以S1=1为首项,公比q为43的等比数列,所以Sn=S1qn-1=43n-1.8.已知首项为1的等比数列an是摆动数列,Sn是an的前n项和,且S4S2=5,则数列1an的前5项和为.答案1116解析S4S2=S2+q2S2S2=1+q2=5,q=2.an是摆动数列,q=-2.1an的首项为1,公比为-12,前5项和为11-(-12)51-(-12)=1+13232=1116.9.已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:
5、b1+b3+b5+b2n-1.解(1)设数列an的公差为d,因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5=1+2d,所以d=2,所以an=2n-1(nN+).(2)设数列bn的公比为q,b2b4=a5,qq3=9,所以q2=3,所以b2n-1是以b1=1为首项,q=q2=3为公比的等比数列,所以b1+b3+b5+b2n-1=1(1-3n)1-3=3n-12.关键能力提升练10.已知等差数列an的前n项和Sn=n2+bn+c,等比数列bn的前n项和Tn=3n+d,则向量a=(c,d)的模为()A.1B.2C.3D.无法确定答案A解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知,c=0,d=-1,所以向量a
6、=(c,d)的模为1.11.正项等比数列an的前n项和为Sn,S30=13S10,S10+S30=140,则S20等于()A.90B.70C.40D.30答案C解析由S30=13S10,知q1,由S30=13S10,S10+S30=140,得S10=10,S30=130,由等比数列的前n项和的性质得S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,则(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(130-S20),解得S20=40或S20=-30(舍去),故选C.12.已知Sn是等比数列an的前n项和,若存在mN+,满足S2mSm=9,a2mam=5m+1m-1,则
7、数列an的公比为()A.-2B.2C.-3D.3答案B解析设公比为q,若q=1,则S2mSm=2,与题中条件矛盾,故q1.S2mSm=a1(1-q2m)1-qa1(1-qm)1-q=qm+1=9,qm=8.a2mam=a1q2m-1a1qm-1=qm=8=5m+1m-1,m=3,q3=8,q=2.13.已知等比数列an的前10项中,所有奇数项之和为8514,所有偶数项之和为17012,则S=a3+a6+a9+a12的值为()A.580B.585C.590D.595答案B解析设等比数列an的公比为q,则由题意有S偶S奇=q=2,S奇=a11-(q2)51-q2=8514,得a1=14,q=2,S
8、=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q21-q121-q3=585.14.(多选题)在公比为q的等比数列an中,Sn是数列an的前n项和,若a1=1,a5=27a2,则下列说法正确的是()A.q=3B.数列Sn+2是等比数列C.S5=121D.2log3an=log3an-2+log3an+2(n3)答案ACD解析a5=27a2,q3=27,q=3,故选项A正确;又a1=1,an=3n-1,Sn=1-3n1-3=3n-12,Sn+2=3n+32,Sn+1+2Sn+2=3n+1+33n+3常数,故选项B错误;S5=35-12=121,选项C正确;2log3an=2(n-
9、1),log3an-2+log3an+2=n-3+n+1=2(n-1),2log3an=log3an-2+log3an+2(n3),故选项D正确.15.等比数列an中,a1-a3=3,前n项和为Sn,S1,S3,S2成等差数列,则Sn的最大值为.答案4解析设an的公比为q,S1,S3,S2成等差数列,2S3=S1+S2,即2(a1+a2+a3)=a1+a1+a2,整理,得a2+2a3=0.即a1q+2a1q2=0.a10,q0,q=-12.又a1-a3=3,即a1-a1q2=3,a1=4.当n为奇数时,Sn=831+12n831+12=4,当n为偶数时,Sn=831-12n83.综上,Sn的最
10、大值为4.16.设数列an的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,nN+,则a1=,S5=.答案1121解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2).又因为a2=3a1,所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5=1-351-3=121.17.已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=4,S5=35.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)若数列bn满足bn=ean,求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的首项为a1,公差为d,则a
11、1+d=4,5a1+5(5-1)2d=35,解得a1=1,d=3,故Sn=na1+n(n-1)d2=n(3n-1)2.(2)由(1),得an=3n-2,bn=e3n-2,且b1=e.当n2时,bnbn-1=e3n-2e3(n-1)-2=e3(定值),数列bn是首项为e,公比为e3的等比数列.Tn=e(1-e3n)1-e3=e3n+1-ee3-1.学科素养创新练18.已知Sn为数列an的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.(1)证明:Sn-n+2为等比数列;(2)设数列Sn的前n项和为Tn,求Tn.(1)证明当n=1时,S1-2S1=1-4,故S1=3,得S1-1+2=4.当n2时,原式转化为Sn=2(Sn-Sn-1)+n-4,即Sn=2Sn-1-n+4,所以Sn-n+2=2Sn-1-(n-1)+2,所以Sn-n+2是首项为4,公比为2的等比数列.(2)解由(1)知,Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,于是Tn=(22+23+2n+1)+(1+2+n)-2n=4(1-2n)1-2+n(n+1)2-2n=2n+3+n2-3n-82.6
